Приклади.

1. Скласти рівняння кола, якщо:

а) його центр знаходиться в точці і точка лежить на колі;

б) його центр співпадає з початком координат, а пряма є дотичною до кола.

Розв'язання. а) Координатами центра кола є координати точки С, а радіусом кола є відстань між точками С і М: . Отже рівняння кола матиме вигляд: .

б) Координатами центра кола є точка , а радіусом кола є відстань від цієї точки до заданої прямої: . Отже, рівняння кола матиме вигляд: .

2. Визначити півосі, фокуси, ексцентриситет та директрису еліпса .

Розв'язання. Із рівняння еліпса слідує: а = 4, в = 3. Тоді . . Отже, велика піввісь дорівнює 4, мала – 3; , ; . Директрисами еліпса є прямі .

3. Показати, що рівняння задає рівняння еліпса. Знайти центр, осі, фокуси та ексцентриситет цього еліпса.

Розв'язання. Виділимо повні квадрати у рівнянні:

.

Звідси

.

Центром еліпса є точка , велика піввісь , мала піввісь . Фокуси еліпса лежать на прямій і віддалені від його центра на відстань . Тому , . Ексцентриситет .

4. Визначити півосі, координати фокусів та асимптоти гіперболи, що визначається рівнянням .

Розв'язання. Із рівняння гіперболи слідує, що , , або , . Параметр с, який визначає координати фокуса, знайдемо з рівності – . Отже, дійсна піввісь гіперболи , уявна піввісь , координати фокусів , та її асимптоти .

5. Записати рівняння гіперболи, якщо її фокусна відстань дорівнює 10, а асимптоти задаються рівняннями .

Розв'язання. Із рівняння асимптот гіперболи слідує, що , , або . Фокусна відстань за умовою . Тому . З рівностей та відносно параметру а отримуємо рівняння , додатнім розв'язком якого є . Тоді . Отже, рівнянням гіперболи є .

6. Знайти координати фокуса та записати рівняння директриси параболи, заданої рівнянням а) , б) .

Розв'язання. а) Віссю симетрії параболи є вісь , , . Отже фокус – , директриса – .

б) Віссю симетрії параболи є вісь , , . Отже фокус – , директриса – .

§ 2.4. Загальне рівняння лінії другого порядку.

Рівняння вигляду

,

де , – довільні дійсні числа, є загальним рівнянням другого порядку.

Вираз не змінюється при довільному перетворенні координат, яке задається паралельним переносом та поворотом осей координат

Якщо провести таку заміну змінних у рівнянні лінії другого порядку, розкрити дужки, звести подібні члени при змінних , їх квадратів та добутків, то одержимо нові коефіцієнти для рівняння лінії другого порядку у нових координатах.

У цьому випадку буде виконуватись рівність

для довільного кута повороту .

Саме цей вираз і визначає тип лінії другого порядку. Якщо:

, то лінія –еліптичного вигляду;

, то лінія –параболічного вигляду;

, то лінія –гіперболічного вигляду.

Справедлива така

Теорема. Нехай в прямокутній системі координат задано загальне рівняння лінії другого порядку

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0.

Тоді існує така прямокутна система координат, в якій це рівняння приймає один із наступних дев'яти канонічних видів:

1) (еліпс);

2) (уявний еліпс);

3) (пара уявних прямих, що перетинаються);

4) , (гіпербола);

5) (пара прямих, що перетинаються);

6) , (парабола);

7) (пара паралельних прямих);

8) (пара уявних паралельних прямих);

9) (пара прямих, що співпали).

Щоб звести загальне рівняння лінії другого порядку до канонічного вигляду необхідно:

1. якщо рівняння містить доданок , то, шляхом повороту на певний кут (такий кут завжди існує) вилучити цей доданок. Якщо рівняння не містить доданок , то таке перетворення не проводиться.

2. виділити повні квадрати, щоб позбутись лінійних доданків по тих змінних, які входять у рівняння з квадратом.

3. Звести рівняння до канонічного вигляду.

Приклади.

7. Встановити тип лінії другого порядку

а) , б) ,

в)

Розв’язання. А) Маємо: , або ; ,

.

Отже, лінія гіперболічного типу.

Б) У цьому випадку , або ; ,

.

Отже, лінія еліптичного типу.

В) У цьому випадку , або ; ,

.

Отже, лінія параболічного типу.

7. Звести рівняння до канонічного типу та побудувати лінію

а) , б) , в)

Розв’язання. а. Згрупуємо доданки зі змінними та виділимо повний квадрат:

По такому канонічному вигляду побудуємо еліпс. Центр еліпса знаходиться в точці , , або ; , або .вісь більша за вісь . Фокуси розміщені на прямій, паралельній осі , та еліпс також розтягнутий по цій осі. Обчислимо координати фокусів: , або . Це координати фокусів відносно центра еліпса

б. Виділимо повні квадрати у правій частині рівняння :

.

Отже, це рівняння визначає гіперболу з центром в точці (3, 1), дійсною піввіссю є , уявною піввіссю є b =. Графік такої гіперболи зображено на рис. 6.

в. Виділимо повний квадрат у правій частині рівняння :

.

Отже, дане рівняння є рівнянням параболи, у якої вісь параболи паралельна осі Ox і напрямлена у від’ємному напрямку, а вершиною параболи є точка (2, 8/7). Графік такої параболи зображено на рис. 7.

Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7.