Заняття 6 § 2.3. Лінії другого порядку Коло..

Колом називають геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки на величину . Точку називають центром кола, а величину – його радіусом.

Рівняння кола .

Рис. 1.

Еліпс.

Еліпсом називають геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок площини є величиною сталою, що перевищує відстань між цими точками.

Дві задані точки і називають фокусами еліпса, відстань – фокусною відстанню, а сталу величину позначають . _.

Для фокусів при умові канонічне (найпростіше) рівняння еліпса представляється у вигляді:

, (1)

де . Числа а і називаються великою і малою півосями еліпса, початок координат називається його центром. Відношення називається ексцентриситетом еліпса, а прямі – її директрисами. Графік еліпса зображено на рис 2а.

Якщо фокуси еліпса лежатиме на осі Oy , то канонічне рівняння набуде такого ж вигляду (1). Великою піввіссю у цьому випадку буде число b, а малою піввіссю – число a (b > a). Графік еліпса буде витягнутий по осі Oy рис 2б.

Рис. 2а. Рис. 2б.

Еліпс із центром у точці , і півосями і , що паралельні осям координат, має рівняння:

. (2)

Гіпербола.

Гіперболою називають геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок є величиною сталою, що менша від відстані між цими точками.

Дві задані точки і називають фокусами еліпса, відстань – фокусною відстанню, а сталу величину позначають .

Для фокусів при умові канонічне (найпростіше) рівняння гіперболи представляється у вигляді:

, (3)

де . Число а – дійсна піввісь, а число – уявна піввіссю гіперболи, початок координат – його центр. Число називають ексцентриситетом гіперболи. Прямі є асимптотами гіперболи, а прямі – її директрисами.

Якщо фокуси лежать на осі Oy , то канонічне рівняння гіперболи набуде вигляду:

, (3)

де число b – дійсна піввісь, а число а – уявна піввіссю гіперболи.

Графіки таких гіпербол зображено на рис. 3а, та рис. 3б.

Рис. 3а Рис. 3б

Гіпербола із центром у точці з осями, що паралельні осям координат, має рівняння:

, або (4)

Парабола.

Параболою називають геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки дорівнює відстані до заданої прямої, що не проходить через задану точку.

Задана точка називається фокусом, а задана пряма – директрисою параболи. Відстань від фокуса до директриси називають фокальним параметром параболи і, як правило позначають .

Для фокуса та директриси канонічне (найпростіше) рівняння параболи має вигляд:

. (5)

Парабола симетрична відносно осі , точку перетину її з цією віссю називають вершиною. Отже, вершина параболи знаходиться на початку координат.

Якщо вершина параболи знаходиться на початку координат, і парабола симетрична відносно осі , то канонічне рівняння параболи має вигляд

.

У цьому випадку точка є фокусом параболи, а пряма – її директрисою.

Рис. 4а Рис. 4б

Якщо вершина параболи знаходиться в точці , і її вісь симетрії паралельна осі , або Oy то її рівняння набувають такого вигляду:

_, , або (6)