Лекція №6. Рівняння Бернуллі для ідеальної та в`язкої рідини

Використаємо рівняння Ейлера для поля сил земного тяжіння

- рівняння Ейлера – Лагранжа

- - інерція

Лагранж розробив принцип, згідно якого рівняння статики можливо використовувати для динаміки, якщо в них внести сили інерції.

- можна проінтегрувати:

- рівняння Бернуллі

p_i - п’єзометричний тиск (статичний)

ρgz_i - ваговий тиск рідини над площею порівняння

z_i - висота підйому центра перерізу над площиною порівняння (геодезична висота)

0.5ρυ² - швидкісний (динамічний) тиск

Енергетичний зміст рівняння Бернуллі:

На основі розмірності тиску Па рівняння Бернуллі має наступний тиск енергетичний зміст:

Сума потенціальної енергії зовнішніх сил p_i кінетичної енергії рухомих частинок рідини 0.5ρυ² потенційної енергії ρgz_i над площиною порівняння для кожного перерізу потоку є величина стала і дорівнює повній енергії потоку Е, що припадає на одиницю об’єму рідини.

Практичне застосування рівняння Бернуллі

На основі рівняння Бернуллі розв’язується багато прикладних задач:

• розрахунки трубопроводів;

• труби Вентурі;

• розрахунок вентиляційних отворів.

Приклад:

Визначити величину тисків для припливного та витяжного отворів вентиляційної системи. Отвори розташовані в навітряній стінці та на даху промислової будівлі.

Якщо об’єднати рівняння в перерізах 0-0 і 1-1, то отримаємо

+

Якщо об’єднати рівняння перерізів 0-0 і 2-2, то отримаємо

-

Різниця тисків, що створюється вітровим потоком утворює природну тягу вентиляційних систем

υ_b = 10 м/с, υ_с = 5 м/с, υ_g = 15 м/с,

p_тяги = 1,2/2 (15² - 5² ) = 120 Па

Рівняння Бернуллі для реальної рідини

Експериментальні досліди показали, що для реальної рідини рівняння Бернуллі потребує уточнення, досліди, які провів вчений Коріоліс, показали, що для реальної рідини рівняння Бернуллі:

α – коефіцієнт Коріоліса, рівний 2,0 при Re≤2320, і 1,02-11 при Re>2320.

Рівняння Бернуллі для в’язкої рідини

При русі реальної рідини в ламінарному чи турбулентному режимі за рахунок тертя між шарами рідини та стінками трубопроводів втрачається енергія потоку.

Рівняння Бернуллі для в’язкої рідини має вигляд:

де е _0-і – втрата енергії на всьому шляху до і перерізу потоку

Рівняння Бернуллі в напорах для в’язкої рідини

Всі доданки залежності поділимо на питому вагу рідини j=ρg

- п’єзометрична висота для і-того перерізу

- динамічний напір (швидкісний)

z_i - відстань від площини порівняння до центра мас і-того живого перерізу (апліката центра мас над площиною порівняння ОО)

втрата на напору на тертя (Δh_i) на всій довжині потоку

повний напір

З врахуванням нових позначень рівняння Бернуллі в напорах буде мати вигляд:

Геометричний зміст:

Для кожного перерізу потоку сума 4 висот, які характеризують геодезичну висоту z, п’єзометричну висоту h_pi, динамічну висоту h_gi та Δh_0-i є величиною сталою і дорівнюють повному напору.

На малюнку вказано 4 лінії:

1. лінія ОО – площина порівняння, яка може переміщатися разом з експериментатором;

2. лінія АН – це лінія повного напору, який спостерігається, коли рідина зупиниться в трубопроводі (статичний режим);

3. лінія ABCD – п’єзометрична лінія, вона проходить через точки A, B, C, D з аплікатами п’єзометричного напору. z_i + h_pi - п’єзометричний напір. П’єзометрична лінія може бути спадаючою або зростаючою.

4. лінія AKMP – називається напірною лінією (лінія живого напору). Вона проходить через точки з аплікатами . Напірна лінія завжди спадає, бо втрати напору по довжині потоку зростають.