Зразок виконання лабораторної роботи Завдання
Методом найменших квадратів підібрати поліном найменшого степеня, який би наближав з точністю s<0,25 функцію, задану такою таблицею:
|
x |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
5 |
|
y |
6,2 |
4,7 |
3,0 |
2,8 |
2,4 |
2,8 |
3,1 |
7,1 |
Розв’язання
Спочатку
знайдемо поліном P1(x).
Маємо:
;
звідси дістаємо систему рівнянь:
Цю систему можна переписати у вигляді:
Обчислення коефіцієнтів цієї системи краще розмістити у вигляді таблиці:
|
і |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
хі |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
5 |
5 |
|
хі2 |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
25 |
53 |
|
уі |
6,2 |
4,7 |
3,0 |
2,8 |
2,4 |
2,8 |
3,1 |
7,1 |
32,1 |
|
хіуі |
–18,6 |
–9,4 |
–3,0 |
0 |
2,4 |
5,6 |
9,3 |
35,5 |
21,8 |
Остаточно
дістанемо таку систему рівнянь:
Розв’язавши систему, одержимо a1=0,0348; a0=3,9907. Отже, P1(x)=0,0348х+3,9907. Обчислимо Di i s:
D0=|3,8863–6,2|=2,3137; D02=5,3532;
D1=|3,9211–4,7|=0,7789; D12=0,6067;
D2=|3,9559–3,0|=0,9559; D22=0,9137;
D3=|3,9907–2,8|=1,1907; D32=1,4178;
D4=|4,0255–2,4|=1,6255; D42=2,6422;
D5=|4,0603–2,8|=1,2603; D52=1,5883;
D6=|4,0951–3,1|=0,9951; D62=0,9902;
D7=|4,1647–7,1|=2,9353; D72=8,6160;
s=22,1282.
Отже, поліном першого степеня не досить добре наближає задану функцію, навіть якщо проігнорувати точками х0 і х7. Складемо поліном P2(x): P2(x)=a2x2+a1x+a0, отже,
.
Як і для полінома P1(x), складемо систему:
Обчислимо коефіцієнти системи:
|
і |
хі |
хі2 |
хі3 |
хі4 |
уі |
хіуі |
хі2уі |
|
0 |
–3 |
9 |
–27 |
81 |
6,2 |
–18,6 |
55,8 |
|
1 |
–2 |
4 |
–8 |
16 |
4,7 |
–9,4 |
18,8 |
|
2 |
–1 |
1 |
–1 |
1 |
3,0 |
–3,0 |
3,0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,8 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2,4 |
2,4 |
2,4 |
|
5 |
2 |
4 |
8 |
16 |
2,8 |
5,6 |
11,2 |
|
6 |
3 |
9 |
27 |
81 |
3,1 |
9,3 |
27,9 |
|
7 |
5 |
25 |
125 |
625 |
7,1 |
35,5 |
177,5 |
|
|
5 |
53 |
125 |
821 |
32,1 |
21,8 |
296,6 |
Остаточно дістанемо таку систему рівнянь:
Розв’язавши систему, одержимо P2(x)=0,2686x2–0,4599x+2,5207. Обчислимо відхилення:
|
хі |
Р2(хі) |
уі |
Dі |
Dі2 |
|
–3 |
6,3178 |
6,2 |
0,1178 |
0,0139 |
|
–2 |
4,5149 |
4,7 |
0,1851 |
0,0343 |
|
–1 |
3,2492 |
3,0 |
0,2492 |
0,0621 |
|
0 |
2,5207 |
2,8 |
0,2793 |
0,0780 |
|
1 |
2,3294 |
2,4 |
0,0706 |
0,0050 |
|
2 |
2,6753 |
2,8 |
0,1247 |
0,0156 |
|
3 |
3,5584 |
3,1 |
0,4584 |
0,2101 |
|
5 |
6,9362 |
7,1 |
0,1638 |
0,0268 |
Величина s=0,4457 свідчить про те, що поліном P2(x) не досить добре наближає задану функцію. Майже половина похибки припадає на точку х=3. Тому проігноруємо значенням функції в цій точці, оскільки в нас не має можливості перевірити значення функції в цій точці. Складемо поліном P2(x)=a2x2+a1x+a0, отже,
.
Складемо систему:
Обчислимо коефіцієнти системи:
|
і |
хі |
хі2 |
хі3 |
хі4 |
уі |
хіуі |
хі2уі |
|
0 |
–3 |
9 |
–27 |
81 |
6,2 |
–18,6 |
55,8 |
|
1 |
–2 |
4 |
–8 |
16 |
4,7 |
–9,4 |
18,8 |
|
2 |
–1 |
1 |
–1 |
1 |
3,0 |
–3,0 |
3,0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2,8 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2,4 |
2,4 |
2,4 |
|
5 |
2 |
4 |
8 |
16 |
2,8 |
5,6 |
11,2 |
|
6 |
5 |
25 |
125 |
625 |
7,1 |
35,5 |
177,5 |
|
|
2 |
44 |
98 |
740 |
29,0 |
12,5 |
268,7 |
Дістанемо таку систему рівнянь:
Розв’язавши систему, одержимо P2(x)=0,2645x2–0,4232x+2,6013. Обчислимо відхилення:
|
хі |
Р2(хі) |
уі |
Dі |
Dі2 |
|
–3 |
6,2514 |
6,2 |
0,0514 |
0,0026 |
|
–2 |
4,5057 |
4,7 |
0,1943 |
0,0377 |
|
–1 |
3,289 |
3,0 |
0,2890 |
0,0835 |
|
0 |
2,6013 |
2,8 |
0,1987 |
0,0395 |
|
1 |
2,4426 |
2,4 |
0,0426 |
0,0018 |
|
2 |
2,8129 |
2,8 |
0,0129 |
0,0001 |
|
5 |
7,0978 |
7,1 |
0,0022 |
0 |
Величина s=0,1654 свідчить про те, що поліном P2(x) досить добре наближає задану функцію.