Лекція № 14

Тема: Метод невизначених коефіцієнтів.

Знаходження частинного розв’язку лінійного

неоднорідного диференціального рівняння із

сталими коефіцієнтами.

Частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння можна знайти методом варіації сталих, проте цей метод є досить громіздким. Існують для даних видів правої частини рівняння (1)(Л. 13) простіші методи знаходження частинних розв’язків без квадратур. Нехай права частина рівняння (1)(Л. 13) має вигляд:

, де - довільний многочлен m-ого степеня, - довільна стала.

Отже розглядаємо рівняння: (1)

Оскільки при диференціюванні множиться тільки на сталий множник , то природно шукати частинний розв’язок у вигляді добутку деякої функції на .

Після виконання усіх операцій зазначених в лівій частині рівняння (1), скорочення на , в лівій частині залишиться многочлен тотожний .

Припустимо, що в шуканому частинному розв’язку додатковим многочленом до буде деякий многочлен від (х), таким чином частинний розв’язок будемо шукати у вигляді:

(2), де - многочлен з невідомими коефіцієнтами та степенем.

Їх нам потрібно визначити: для цього підставимо (2) в (1). У формулу (3(Л. 13)) замість k підставимо , замість Помноживши через ліву частину характеристичного рівняння при матимемо:

Звідси: (3)

Якщо не є коренем характеристичного рівняння , тобто , тоді степінь многочлена повинен збігатися із степенем Припускаємо, що:

, де - невизначені коефіцієнти. Підставивши цей вираз замість в (3) матимемо тотожність. Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х у лівій і правій частинах цієї тотожності, дістанемо систему з m + 1 рівнянь відносно невідомих . Оскільки то система дає змогу знайти коефіцієнти .

Приклад:

Розв’язати рівняння: .

Розв’язання: Загальний розв’язок шукаємо у вигляді: .

Складемо характеристичне рівняння відповідного однорідного рівняння.

; звідки

Оскільки , то:

Припустимо, що , тобто - корінь характеристичного рівняння, і нехай - корінь кратності Тоді:

Тоді рівняння (3) набуде вигляду:

(4)

Многочлени лівої і правої частини повинні бути однакового степеня, тобто многочлен лівої частини має степінь m. А отже - та похідна від буде m - того степеня, тобто матиме степінь m + r:

(5)

Ліва частина (4) містить похідні з r-ої по n-ту. При підстановці (5) в (4) і знаходженні похідних від всі члени правої частини, починаючи з зникають. Тому доцільно припустити, що

Тоді: або

Отже, якщо - корінь характеристичного рівняння кратності r, то частинний розв’язок рівняння (1) шукатимемо у вигляді:

, де - многочлен того ж степеня що й

Отже, щоб знайти коефіцієнти многочлена підставимо в задане рівняння замість у вираз , скорочуємо на отриману рівність, прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х і з утвореної системи рівнянь отримаємо коефіцієнти многочлена .

Приклад 1:

Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

- двократний корінь характеристичного рівняння.

Приклад 2:

Розв’язати диференціальне рівняння:

Використавши т. 4 лекції 10-11 розв’язок цього рівняння буде: , де

- частковий розв’язок рівняння:

- частковий розв’язок рівняння:

шукаємо у вигляді: , бо 0 – двократний корінь характеристичного рівняння.

Підставивши у рівняння отримаємо:

шукаємо у вигляді:

Зауваження: Отже, способом невизначених коефіцієнтів можна розв’язувати неоднорідні диференціальні рівняння в яких права частина: , де многочлен степеня m, а - степеня n.

Нехай права частина рівняння (1) має вигляд:

де многочлен m-того степеня, - будь-які дійсні числа. В цьому випадку частинний розв’язок шукають у вигляді:

.

Якщо число є коренями характеристичного рівняння кратності r, то:

.

Якщо рівняння (1) має вигляд:

де - многочлени відповідно степеня , то частинний розв’язок шукаємо у вигляді:

де - частинний розв’язок рівняння: - частинний розв’язок рівняння:

Якщо число не є коренями відповідно характеристичного рівняння, то:

де - многочлен степеня а

- многочлен степеня . Тоді:

.

Нехай: ; m-більше з чисел

Тоді, якщо число не є коренями характеристичного рівняння, то частинний розв’язок з невизначеними коефіцієнтами шукають у виді:

Якщо є число є коренями характеристичного рівняння кратності , то частинний розв’язок з невизначеними коефіцієнтами шукаємо у вигляді:

Приклад:

Знайти розв’язок рівняння:

Розв’язання:

Розв’язок шукаємо у вигляді:

Тоді:

Знайдемо методом невизначених коефіцієнтів.

Права частина число не є коренем характеристичного рівняння, тому розв’язок шукають у вигляді:

Отже: