- •Лекція №9 Тема: Рівняння вищих порядків. Метод степеневих рядів.
- •Метод степеневих рядів.
- •Лекція № 10-11
- •Тема: Лінійна залежність та незалежність функцій
- •Формула Ліувіля-Остроградського
- •Лекція № 12
- •Лекція № 13
- •Випадок простих коренів
- •Випадок кратних коренів
- •Лекція № 14
- •Лекція № 16-17
- •Лекція № 18
Лекція № 13
Тема: Лінійні однорідні рівняння вищого порядку
з сталими коефіцієнтами.
Нехай маємо лінійне однорідне диференціальне рівняння.
(1) , де - сталі. Знайшовши
яку-небудь фундаментальну систему розв’язків ми розв’яжемо це рівняння. Загальним розв’язком буде функція , де - довільні сталі.
Частинні розв’язки шукатимемо у вигляді , k – стала.
Тоді знаходимо похідні до n-го порядку.
Підставимо ці рівності у рівняння (1) здійснивши алгебраїчні перетворення.
Отримаємо: .
Оскільки не може бути рівним нулю, то:
(2)
Отже якщо k – корінь алгебраїчного рівняння (2), то розв’язок рівняння (1), і навпаки. Рівняння (2) звуть характеристичним рівнянням, що відповідає диференціальному рівнянні (1) з сталими коефіцієнтами. Відзначимо, що характеристичне рівняння дістаємо, коли в рівнянні (1) замінимо похідні різних порядків відповідними степенями k. Рівняння (2) має n – коренів з урахуванням кратності кожного з них. А тому різних коренів може бути не більше ніж n – штук.
Випадок простих коренів
Нехай різні корені рівняння (2). Тоді n – функцій є частинними розв’язками рівняння (1). Причому вони є лінійно-незалежними. Загальним розв’язком буде функція: , де - довільні сталі.
Приклад 1:
Розв’язати рівняння: .
Складемо відповідне характеристичне рівняння:
Розв’язавши його отримаємо .
Тоді загальний розв’язок матиме вигляд:
Нехай характеристичне рівняння має комплексний корінь . Тоді ми матимемо такий корінь . З курсу алгебри нам відомо, що якщо алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь , то воно обов’язково і має комплексно-спряжений корінь. Матимемо тоді такий розв’язок:
. Використавши формулу Ейлера: .
Тоді наші розв’язки набудуть вигляду:
За теоремою (5) (Л. 10-11) маємо, що комплексному кореню відповідає 2 дійсних розв’язки.
Ці розв’язки є лінійно-незалежними. Комплексно-спряжене також має 2 дійсних корені, вони є ( з точністю до знака ) такими як і для кореня .
Отже парі комплексно-спряжених коренів і відповідає 2 дійсних частинних розв’язки рівняння (1).
Приклад 2:
Розв’язати рівняння:
Складаємо характеристичне рівняння:
Тоді загальний розв’язок матиме вигляд:
Випадок кратних коренів
Припустимо, що характеристичне рівняння має кратні корені. В цьому випадку ми дістанемо менше ніж n частинних розв’язків рівняння (1), а отже ми не можемо знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок. Потрібно знайти спосіб знаходження всіх частинних розв’язків рівняння (1), які б складали фундаментальну систему розв’язків. Ліву частину характеристичного рівняння (2) позначимо так:
.
Частинні розв’язки рівняння (1) будемо шукати у вигляді: ; де k – корінь характеристичного рівняння, U – невідома функція від х, яку знаходимо так, щоб виконувалась рівність: . Обчислюємо усі похідні функції y(x) до n-того порядку включно. Так використавши формулу Лейбніца:
;
Підставивши знайдені значення похідних у рівняння (1), а також урахувавши вигляд g(k), отримаємо:
(3)
Якщо є коренем характеристичного рівняння кратності , то як відомо з курсу алгебри . То як відомо з курсу алгебри:
. Тоді вираз (3) матиме вигляд:
Тоді функція буде розв’язком рівняння 1, якщо
Оскільки , а також кожен з коефіціентів при , то звідси слідує, що повинно виконуватись: .
Отже логічно за U брати такі функції: 1, х, х, ... , х.
Тоді частинними розв’язками рівняння (1), що відповідають кореню характеристичного рівняння кратності будуть функції: .
Аналогічно кореню кратності будуть відповідати такі частинні розв’язки . Отже в загальному випадку коли характеристичне рівняння має корінь кратності , кратності , ... , кратності , де
. Тоді відповідає система n – різних частинних розв’язків рівняння (1).
Оскільки така система є лінійно-незалежною, то ми маємо фундаментальну систему розв’язків лінійна комбінація яких дає загальний розвяок загальний розв’язок:
Якщо - комплексний корінь кратності m, то спряжене дорівнює теж корінь кратності m. В цій парі коренів відповідатимуть такі частинні розв’язки:
або що те саме ( використавши формулу Ейлера ) матимемо:
.
Тобто комплексному кореню кратності m відповідає 2m частинних розв’язків. Тоді в загальному розв’язку будемо мати:
Приклад 1:
Розв’язати рівняння: .
Складемо відповідне характеристичне рівняння:
Тоді загальний розв’язок буде:
Приклад 2:
Розв’язати рівняння: .
Складемо відповідне характеристичне рівняння:
В цьому випадку ми маємо комплексний корінь 2i. Загальний розв’язок матиме вигляд:
У формулу (3)(Л. 13) замість k підставимо , замість U підставимо Q(x). Позначивши через ліву частину характеристичного рівняння при матимемо:
Скоротивши на отримаємо:
(3)
Якщо не є коренем характеристичного рівняння, тобто , то очевидно, що степінь многочлена повинен збігатися з степенем многочлена .
Припустимо, що ; де - сталі які потрібно знайти. Підставивши многочлен в рівняння (3) та виконавши відповідні алгебраїчні перетворення прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х отримаємо систему
m + 1 рівнянь, розвязавши яку знаходимо невідомі коефіцієнти.
Зауваження:
Оскільки не дорівнює нулю, то система матиме єдиний розв’язок.
Приклад:
Розв’язати рівняння:
Розв’язок даного рівняння шукаємо у вигляді:
;
;
, де А і В – невідомі коефіцієнти. Для того щоб їх знайти підставимо у наше рівняння, попередньо знайшовши відповідні похідні.
;
Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х отримаємо систему для знаходження невідомих А та В.
;
;
Припустимо, що , тобто - корінь характеристичного рівняння. Нехай цей корінь має кратність . Тоді за відомою теоремою, з курсу алгебри маємо:
.
Тоді рівняння (3) матиме вигляд:
(4)
Степінь многочленів лівої та правої частини рівності (4) повинні бути однаковими, тобто мати степінь m. Це означає, що r – похідна многочлена буде m-го степеня. Що означає, що матиме степінь . Тобто:
(5)
Ліва частина (4) містить похідні з r-тої по m-ту. При підстановці (5)-(4) та знаходженні всіх похідних, члени правої частини (5) починаючи з зникнуть.
Тому доцільно припустити, що коефіцієнти: - рівні нулю. Тоді:
.
Або винісши за дужки отримаємо, що: .
Отже, якщо - корінь характеристичного рівняння кратності r, то частинний розв’язок рівняння (1) шукаємо у вигляді:
, де r - находиться в межах від 0 до n. - многочлен того ж степеня, що і . Отже, щоб знайти коефіцієнти многочлена підставимо в задане рівняння замість “у” вираз . Скорочуємо на , прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х. Із утвореної системи знаходимо невідомі коефіцієнти .
Приклад 1:
Розв’язати рівняння:
Розв’язок шукаємо у вигляді: ;
Маємо, що - двократний корінь характеристичного рівняння.
Шукаємо відповідні похідні та підставляємо їх значення в рівняння.
;
;
;
;
;
;
Приклад 2:
Розв’язати диференціальне рівняння:
Загальний розв’язок даного рівняння шукаємо у вигляді:
, де - частковий розв’язок рівняння.
, а - розв’язок часткового рівняння: .