3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.

3.4.1. Первый замечательный предел.

Отметим, что для выполнены неравенства смотри рисунок (доказательство неравенства в конце пункта).

Рис. 3.3

Откуда следуют неравенства

(1)

Далее = и из (1) получаем, что

Отметим, что попутно были доказаны следующие соотношения:

.

.

_{Доказательство неравенства}

Рис. 3.3.1

Дуга (на рис. 3.3.1 - это) есть предел длин вписанных ломаных с равноотстоящими узлами при стремлении к бесконечности числа звеньев. Легко показать, что последовательность длин этих ломаных является монотонно возрастающей последовательностью, ограниченной длиной сверху. Например, , см. рис. 3.3.2.

Рис. 3.3.2

Для доказательства этого в угле проведена биссектриса. Легко проверяются неравентва: Откода следует, что длина хорды

,

Другими словами, длина хорды ломаной меньше соответствующей составляющей тангенса.

3.4.2. Второй замечательный предел.

Лемма 1.Если x_n=a, {n_k} - последовательность натуральных чисел такая, что n_k=+ , то =a.

Отметим, что не обязана быть подпоследовательностью.

Доказательство: По условию x_n=a , т.е.

N_n>N_ : |x_n - a|<. (2)

Далее, используя второе условие n_k=+ можно для N_ найти Kk >K: n_k>N_ . Тогда из (2) будет следовать, что

|- a|<, ч.т.д.

Лемма 2. Если x_k=0, x_k>0, то =e.

Доказательство: Так как x_k=0 , то можно считать, что для всех справедливо : . Для целой части числа , n_k= будут выполнены неравенства:

,

Поэтому

(3)

Пределы последовательностей , согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти последовательности можно представить в виде:

Переходя к пределу в (3) при k , по теореме о трех последовательностях, получим требуемое утверждение.

Следствие 1. .

Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности {x_k} типа Гейне при x0+0 будет выполнено =e и, следовательно, .

Аналогичное утверждение справедливо для любой последовательности {x_k} типа Гейне при и, поэтому, .

Следствие 2. ,. Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/y.

Следствие 3. , если -бесконечно малая при

Пример 1 (Раскрытие неопределенностей типа: ). Вычислить предел , где и

В этом случае будет существовать бесконечно малая при такая, что. Тогда и если мы найдем предел , то Отметим, что здесь может быть: - число, . -может быть числом или символом .

Пример. Вычислить предел .

.

=

=.

=

Поэтому  и . Откуда получаем, что .

Выпишем часто используемые основные эквивалентности

sin x  x, x0,

 ,

 x, x0.

Второе и третье соотношения будут доказаны в последующем.

Стандартные эквивалентности

3.5 Непрерывные функции

Понятие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Классификация разрывов. Теоремы Вейерштрасса. Нули непрерывных функций. Равномерная непрерывность.

3.5.1.Непрерывность в точке и на множестве

Определение. Функция f(x), заданная на множестве X , содержащем некоторую проколотую окрестность точки x₀, X, называется непрерывной в точке x₀ , если она определена в точке и.

Определение непрерывности в точке по Коши

Функция определена в точке и >0>0x X,|x - x₀|<: |f(x) - f(x₀)|<.

Определение непрерывности в точке по Гейне

Функция определена в точке и x_n, {x_n}x₀, {x_n}X : f(x_n)=f(x₀).

Непрерывность справа:

Функция определена в точке и >0>0x X, x₀  x < x₀ +: |f(x) - f(x₀)|< .

Непрерывность слева:

Функция определена в точке и >0>0x X, x₀ - < x  x₀ : |f(x) - f(x₀)|< .

Непрерывность на множестве:

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.