Тема 3. Производная и дифференциал функции.

Приращение величины, аргумента, функции. Скорость изменения функции. Определение производной и ее геометрический смысл. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Экономический смысл производной. Соотношение между суммарными, средними и предельными величинами в экономике.

Тема 4. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Признаки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции и их нахождение. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Исследование функций в экономике.

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Функции двух переменных. Основные понятия. Линии уровня. Некоторые многомерные функции в экономике. Частные производные и их экономический смысл. Коэффициенты эластичности. Дифференциал функции. Производная по направлению и градиент. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условие локальных экстремумов. Условный экстремум. Метод Лагранжа.

Тема 6. Функции полезности и производные функции.

Функция полезности, кривые безразличия. Задача потребительского выбора. Решение задачи потребительского выбора и его свойства. Функция спроса, модель Стоуна. Взаимозаменяемость благ. Уравнение Слуцкого. Кривые "доход – потребление", "цены – потребление", Коэффициенты эластичности, материальные балансы. Производственные функции и их свойства. Функции выпуска продукции и функция затрат ресурсов.

2 Семестр

Раздел 3. Интегральное исчисление.

Тема 1. Неопределенный интеграл.

Первообразная функция и ее свойство. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям.

Тема 2. Определенный интеграл.

Задача о площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Теорема о существовании определенного интеграла и его свойства. Интеграл с переменным верхним пределом, его производная. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям. Приложение определенного интеграла и его экономический смысл. Несобственные интегралы.

Раздел 4. Дифференциальные уравнения.

Тема 1. Общие понятия.

Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение, его порядок, общее и частное решения.

Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. Геометрический смысл задачи Коши и дифференциального уравнения , поле направлений, интегральные кривые. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные, линейные.

Тема 3. Дифференциальные уравнения второго порядка.

­­­­­­­Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка, теорема существования и единственности ее решения. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка однородные и неоднородные, свойства их решений. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Динамическая модель развития экономики Солоу.

Раздел 5. Ряды.

Тема 1. Числовые ряды.

Понятие числового ряда, его суммы и сходимости. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости знакоположительных рядов. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: Даламбера, интегральный, сравнения. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Тема 2. Степенные ряды.

Понятие функционального ряда и его области сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Маклорена для функций