
- •Часть II
- •I.Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •II. Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •IV. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •VI.Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •VII. Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •3. Линейные уравнения
- •Метод Бернулли
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Системы дифференциальных уравнений
- •Решение нормальных систем.
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
8.Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правила дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности, т.е. сохраняет один и тот же вид, независимо от того являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Пусть Z= f(х;у), где x, y
– независимые переменные, тогда полный
дифференциал (1ого порядка) имеет
вид dZ=
Рассмотрим сложную функцию Z= f(х; у), где
x=x(u,),
y=y(u,
),
т.е. функция
Z= f(x(u,),
y(u,
))=F(u,
),
где u,
-
независимые переменные. Тогда имеем:
dZ==
=(
)du+(
)d
=
Выражения в скобках представляют собой
полные дифференциалы dx
и dy функции x=x(u,)
и y=y(u,
).
Следовательно, dZ=
-
Дифференцирование неявной функции
Функция Z= f(х; у) называется неявной, если
она задается уравнением F(x,y,z)=0
неразрешенным относительно Z.
Найдем частные производные
функции Z заданной неявно.
Для этого подставив в уравнение вместо
Z функцию f(х;у) получим
тождество F(x,y,
f(х,у))=0. Частные производные по x
и y функции,
тождественно равной нулю, также равны
нулю.
F(x, y,
f (х, у)) =
=0
(y считаем постоянным)
F(x, y,
f (х, у)) =
=0
(x считаем постоянным)
Откуда
и
Пример: Найти частные производные
функции Z заданной
уравнением
.
Здесь F(x,y,z)=
;
;
;
.
По формулам приведенным выше имеем:
и
-
Производная по направлению
Пусть функция двух переменных Z= f(x;
у) задана в некоторой окрестности т. М
(x, y).
Рассмотрим некоторое направление,
определяемое единичным вектором
,
где
(см. рис.1).
На
прямой, проходящей по этому направлению
через т. М возьмем т. М1 (
)
так, что длина
отрезка MM1 равна
.
Приращение функции f(M)
определяется соотношением
,
где
связаны соотношениями
.
Предел отношения
при
будет называться производной функции
в точке
по направлению
и обозначаться
=
.
M1
Рис. 1
Если функция Z дифференцируема
в точке
,
то ее приращение в этой точке с учетом
соотношений для
может быть записано в следующей форме.
поделив обе части на
и переходя к пределу при
получим формулу для производной функции
Z= f(х; у) по направлению:
-
Градиент
Рассмотрим функцию трех переменных
,
дифференцируемую в некоторой точке
.
Градиентом этой функции
в точке М называется вектор, координаты
которого равны соответственно частным
производным
в этой точке. Для обозначения градиента
используют символ
.
=
.
.Градиент
указывает направление наибыстрейшего
роста функции в данной точке.
Поскольку единичный вектор
имеет координаты (
),
то производная по направлению для случая
функции трех переменных записывается
в виде
,
т.е.
имеет формулу скалярного произведения
векторов
и
.
Перепишем последнюю формулу в следующем
виде:
,
где
- угол между вектором
и
.
Поскольку
,
то отсюда следует, что производная
функции по направлению принимает
max значение при
=0,
т.е. когда направление векторов
и
совпадают. При этом
,
т.е., на самом деле градиент функции
характеризует направление и величину
максимальной скорости возрастания этой
функции в точке.