4.5. Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

1. Объем тела

Как уже говорилось, объем цилиндрического тела можно найти по формуле , где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

2. Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле для объема тела через двойной интеграл =1, то цилиндрическое тело превратить в прямой цилиндр с высотой Н=1. Объем такого цилиндра численно равен, как известно, площади S основания . При этом получится формула для вычисления площади S области .

3. Масса плоской фигуры

Пусть дана плоская пластина с переменной плотностью γ, которую можно записать как функцию .

Разобьем пластину на элементарные части , площади которых обозначим через . В каждой области возьмем произвольную точку . Если область достаточно мала, то плотность в каждой точке этой области мало отличаются друг от друга. Считая эту плотность в величиной постоянной мы можем найти массу : , а так как масса всей пластины , то можно записать . Точное значение m получим, как предел этой суммы при и , т.е. .

4. Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Статические моменты могут быть вычислены с использованием раннее полученных соотношений по следующим формулам: и , а координаты центра масс фигуры по формулам: и .

4.6. Тройной интеграл. Основные понятия

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый тройной интеграл. Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла, поэтому изложим ее в сокращенном виде.

Пусть в замкнутой области V пространства OXYZ задана непрерывная функция . Разбив область V сеткой поверхностей на n частей и выбрав в каждой их них произвольную точку составим интегральную сумму для функции по области V (∆V_i – объем элементарной области V_i). Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая V_i стягивается в точку, то его называют тройным интегралом от функции по области V и обозначают (или ). Таким образом, по определению получаем . Здесь - элемент объема - диаметр i-области.

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы при , существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной:

1) , где .

2) .

3) , если , а пересечение V₁ и V₂ состоит из границы, их разделяющей.

4) , если в V, . Если же в V, , то и .

5) , так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

6) Оценка тройного интеграла

, где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции в области V.

7) Теорема о среднем значении

Если функция непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка , что , где V – объем тела.

4.7. Вычисление тройного интеграла.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Пусть областью интегрирования является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху поверхностью , причем и (≤) – непрерывные функции в замкнутой области , являющейся проекцией тела на плоскость OXY(рис.6). Будем считать область V правильной в направлении оси oz, тогда любая прямая, параллельная оси oz, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции имеет место соотношение , сводящее вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного (доказательство этого соотношения мы упускаем). При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной Z при постоянных х и у в пределах изменения Z. Нижней границей интеграла является аппликата точки А – точки входа прямой, параллельной оси oz, в область V, т.е. , верхней границей аппликата точки В – точки выхода прямой из области V, т.е. . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных х и у. Если область ограничена линиями , (<b), и , где и - непрерывные на отрезке функции, причем ≤ ,то, переходя от двойного интеграла к повторному получаем ф

Рис.6.

ормулу: . С помощью этого соотношения и производятся вычисления тройных интегралов.

Пример. Вычислить , где V ограничивается плоскостями , , и (рис.7). Область V является правильной в направлении оси oz (как в направлении ох и оу). Ее проекция на плоскость оху является правильной в направлении оу и ох. Поэтому, применяя выше полученное соотношению имеем

.