4.4.3 Применение метода анализа размерностей для установления вида связи между критериями

Теперь, когда известны критерии, с помощью которых можно описать изучаемые явления, составляют математические модели процесса, в которых используют критерии подобия.

Лишь иногда связь между критериями удается найти расчетным путем, решив соответствующую систему дифференциальных уравнений. Чаще зависимость между критериями неизвестна, и решить систему уравнений невозможно. Тогда связь между критериями находят, используя метод анализа размерностей, а числовые значения коэффициентов находят экспериментальным путем из опытов на моделях.

Допустим, из практических данных известно, что процесс описывается тремя определяющими величинами , ,  и одной определяемой . Общий вид зависимости:

y(α, β, γ, δ) = 0 (4.35)

или

α = f (β, γ, δ). (4.36)

Если, например, эти величины выражаются с помощью трех основных единиц измерения в системе СИ – м, с, кг, то, согласно π-теореме, функциональная зависимость между величинами может быть представлена в виде функций между двумя безразмерными комплексами:

φ(П₁, П₂ ) = 0 (4.37)

или

П₁ = f (П₂). (4.38)

Допустим, установлено, что:

(4.39)

П₂ = β ∙ γ ∙ δ. (4.40)

Запишем зависимость вида:

(4.41)

или

(4.42)

Числовые значения коэффициента x и показателя степени y получают из опытов на модели.

В итоге получают расчетную зависимость, пригодную для описания группы подобных процессов в изучаемых пределах изменения величин П₁ и П₂.

В качестве примера применения метода анализа размерностей рассмотрим движение жидкости в прямом трубопроводе. Нужно определить в общем виде перепад давления . Анализируем процесс: перепад давлений зависит от скорости жидкости W, ее плотности ρ, вязкости , ускорения силы тяжести g, длины трубы l, ее диаметра d.

Таким образом, в общем виде:

= f(W, ρ, , g, l, d). (4.43)

Нужно заменить эту функцию зависимостью между критериями подобия.

Число переменных N = 7, число единиц измерения r = 3. При этом, согласно π-теореме, число безразмерных комплексов, описывающих процесс, n = 7 – 3 = 4.

Чаще всего при описании процессов функции общего вида может быть представлена в виде степенной зависимости, т.е.

, (4.44)

где x, y, z, u, r, s, l – безразмерные неизвестные коэффициенты.

Учитывая, что х – безразмерный коэффициент и что размерности левой и правой части уравнения должны быть равными, можем записать:

[] = [W]^y [ρ]^z []^u [g]^r [l]^s [d]^l (4.45)

и подставить для каждой величины её размерность в системе LMT (длина, масса, время):

ML^-1T^-2 = [LT^-1]^y ∙ [ML^-3]^z ∙ [ML^-1T^-1]^u ∙ [LT^-2]^r ∙ L^s ∙ L^l. (4.46)

Раскроем в правой части скобки и сгруппируем однородные члены:

ML^-1T^-2 = M^{z+u .} L^{y-3z-u+r+s+l .} T^-y-u-2r.

Приравняв показатели степеней при одинаковых единицах измерения, получаем систему уравнений:

В трёх уравнениях шесть неизвестных. Любые три из этих переменных можно выразить через три другие.

Например, y, z и l через u, r и s:

Подставим значения показателей степеней y, z и l в степенную функцию:

∆Р = xW ^2-2r-u ρ^1-u  ^u g ^r l ^s d ^r-s-u.

или

∆Р = xW ² W ^-2r W ^-u ρρ^-u  ^u g ^r l ^s d ^r d ^-s d ^-u.

Сгруппировав отдельные величины, находим обобщенную зависимость для определения перепада давлений:

(4.47)

Таким образом, имеем четыре безразмерных комплекса, в данном случае критериев Эйлера, Рейнольдса, Фруда и симплекс геометрического подобия.

Числовые значения коэффициента х и показателей степеней u, r и s находят опытным путем на модели. В конечном итоге, получают расчетное уравнение для определения .