4.4 Моделирование на основе метода анализа размерностей

Точное соблюдение всех условий подобия затруднительно и может быть выполнено лишь в редких случаях. Поэтому разработаны и успешно применяются приближенные методы построения моделей технических систем.

4.4.1 Установление числа независимых переменных

На первом этапе устанавливают и выбирают независимые переменные, оказывающие воздействие на систему. Затем выбирают основные размерности, через которые можно выразить единицы измерения всех рассматриваемых переменных, например систему СИ. Эти единицы могут быть первичными – (м), (c), (кг) и вторичными, т.е. произведениями первичных, взятых в различных степенях – м · c^-1, м · c^-2 и т.п.

На следующем этапе подсчитывают число безразмерных комплексов, определяющих рассматриваемую систему. С этой целью обращаются к π-теореме Букингема либо к модифицированной π-теореме.

Если число рассматриваемых переменных N, число параметров разной физической природы среди изучаемых переменных n, а число первичных единиц измерения r, то, согласно π-теореме, общее число безразмерных критериев

П = N – r, (4.15)

из них число критериев-комплексов

K = n – r, (4.16)

число критериев-симплексов

S = N – n. (4.17)

Согласно модифицированной π-теореме, не обязательно в качестве первичных переменных выбирать те, которые кладутся в основу различных систем измерения (в частности, системы СИ). В качестве таких переменных можно из рассматриваемой совокупности выбирать, например, те, которые не образуют безразмерные комбинации, либо другие.

4.4.2 Установление вида критериев

Очередная задача – найти вид критериев. Наибольшее распространение получило использование принципа однородности размерностей и применение модифицированной π-теоремы. Применяют также методы последовательного исключения размерностей и использования систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрим первые два способа нахождения вида критериев на примере гетерогенного процесса коррозии металлов в жидкой или газообразной среде.

Реакции окисления металла при химической коррозии и электродные процессы при электрохимической коррозии протекают в поверхностном слое твердой фазы, омываемой газом или жидкостью. Количество вещества G, подведенного к поверхности металла из потока, равно:

G = β ∙ (C₀ – C_П) ∙ s ∙ τ, кг, (4.18)

где  – скорость перехода вещества в результате диффузии (коэффициент массопередачи), м/с;

С₀ – концентрация диффундирующего вещества в основной массе потока, кг/м³;

С_П – концентрация диффундирующего вещества около поверхности металла, кг/м³;

S – поверхность, через которую идет диффузия, м²;

–продолжительность диффузии, с.

Известно, что коэффициент  зависит от скорости потока W, линейных размеров обтекаемого тела l, коэффициента диффузии вещества в жидкости или газе D, вязкости  и плотности потока ρ. Используя эти сведения, найдем основные критерии, с помощью которых можно описать рассматриваемое явление.