4.2 Свойства и виды инвариантов подобия. Критерии подобия

Инварианты подобия (i_l , i_ , i_W , i_ , i_ и т.д.) не зависят от соотношения размеров объекта и модели, т.е. при переходе от одной системы к другой, ей подобной, инварианты подобия не меняют своих значений.

Требования теории физического подобия об обеспечении аналогии между моделью и объектом моделирования (далее объект) формулируются следующим образом:

• модель должна быть геометрически подобна объекту;

• безразмерные начальные и граничные условия модели должны тождественно совпадать с теми же условиями объекта;

• явления в модели и объекте должны описываться одной и той же системой дифференциальных уравнений;

• одноименные критерии подобия, входящие в систему дифференциальных уравнений, описывающих моделируемые явления (системы), в модели и объекте должны быть соответственно равны.

Инварианты подобия, выраженные отношением двух однородных физических величин (параметров), называются параметрическими критериями или симплексами. Инварианты подобия, выраженные отношением разнородных величин, называются комплексными критериями или комплексами.

Например:

.

Если инварианты подобия получены в результате преобразования дифференциальных уравнений, описывающих процесс, то они называются критериями подобия. Критерии подобия всегда имеют физический смысл и являются мерами отношения между какими-то двумя эффектами (силами и т.п.), существенными для рассматриваемого процесса.

Свойства критериев подобия: они безразмерны, изменяют свою величину от точки к точке одной системы, но для сходственных точек подобных систем не зависят от относительных размеров объекта и модели.

Критерии подобия могут быть получены для любого процесса, если известны аналитические зависимости между величинами, которые характеризуют данный процесс, т.е. известны дифференциальные уравнения, описывающие процесс.

4.3 Теоремы подобия и организация эксперимента при моделировании на основе физической теории подобия

Основные положения теории подобия обобщаются теоремами, которые используют в практической деятельности.

Первая теорема. При подобии систем всегда могут быть найдены такие безразмерные комплексы величин, которые для сходственных точек данных систем одинаковы, т.е. подобные явления характеризуются численно равными критериями подобия.

Первая теорема подобия показывает, какие величины следует измерять при проведении исследований на модели, результаты которых следует обобщить для описания подобных явлений и систем, а именно: нужно измерять величины, входящие в критерии подобия.

Вторая теорема. Решение любого дифференциального уравнения, связывающего между собой переменные, влияющие на процесс, может быть представлено в виде зависимости между безразмерными комплексами этих величин, т.е. между критериями подобия.

Дифференциальные уравнения, в состав которых входят критерии подобия, называют критериальными уравнениями или уравнениями в обобщенных переменных (или обобщенными уравнениями) и представляют в виде:

Y(П₁, П₂, П₃, ... П_n) = 0, (4.13)

где П₁, П₂, П₃, ... П_n – критерии подобия.

Критерии подобия могут быть определяющими и определяемыми. Первые входят в условия однозначности, т.е. необходимы для однозначной характеристики данного процесса (технической системы). Например, геометрические размеры и форма аппарата, физические параметры процесса и т.д. Определяемые критерии включают величины, не являющиеся необходимыми для однозначной характеристики данного процесса (системы), и сами зависят от этих условий однозначности.

Если, например, определяемый критерий П₁, то дифференциальное уравнение представляют в виде:

П₁ = f(П₂, П₃, ... П_n). (4.14)

Итак, вторая теорема подобия показывает, как обрабатывать результаты исследований, проведенных на моделях, а именно: их нужно представить в виде функциональной зависимости между критериями подобия.

Третья теорема касается необходимых и достаточных условий подобия.

Третья теорема. Подобны те системы, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и у которых соблюдается подобие условий однозначности, т.е. их определяющие критерии численно равны.

Обобщая теоремы, можно записать следующие основные этапы исследования систем методом подобия.

• Составляют дифференциальные уравнения и устанавливают условия однозначности, т.е. получают полное математическое описание системы.

• Проводят подобное преобразование дифференциальных уравнений и находят критерии подобия.

• Опытным путем на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между критериями подобия и получают обобщенное расчетное уравнение, справедливое для всех подобных систем в пределах изменений, определяющих критерии подобия.