3 Вопрос. Графическое изображение вариационных рядов.

Графическое изображение вариационного ряда позволяет в наглядной форме представить закономерности варьирования значений признака. Используются следующие виды графического изображения вариационных рядов: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая (кумулята), огива.

Полигон. Служит для изображения дискретного вариационного ряда. Для его построения в прямоугольной системе координат наносят точки с координатами (x_i, m_i) где x_i - вариант , m_i - частота. Эти точки соединяют последовательно отрезками прямых. Полученная ломаная называется полигоном:

Гистограмма служит для изображения только интервального вариационного ряда. В прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают отрезки, изображающие интервалы ряда. На этих отрезках, как на основаниях, строятся прямоугольники с высотами, равными частотам соответствующего интервала. Получившаяся ступенчатая фигура и есть гистограмма.

Кумулята. строится следующим образом: если ряд дискретный, то на ось абсцисс наносятся значения признака (варианты). Ординатами служат нарастающие итоги частот. Соединяя точки с координатами (x_i, m_i^нак) прямыми линиями, получаем ломанную линию – кумуляту.

Если ряд интервальный, то по оси абсцисс откладываются интервалы. Нижней границе первого интервала соответствует частота, равная 0, а верхней границе первого интервала - вся частота первого интервала. Верхней границе второго интервала соответствует его накопленная частота, т.е. верхней границе последнего интервала соответствует накопленная частота, равная сумме всех частот.

Построение огивы аналогично построению кумуляты, только оси координат меняются местами.

При построении графиков следует иметь в виду, что вместо значений частот можно откладывать значения частостей, а вместо накопленных частот – накопленные частости.

4 Вопрос. Числовые характеристики вариационного ряда.

Средняя арифметическая:

X	x1	x2	x3	…	xn
mi	m1	m2	m3	…	mn

,

, где W_i - частость.

Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств:

1.

2.

3.

Показатели вариации.

Вариационный размах R = x_max-x_min

Среднее линейное отклонение:

- простое

- взвешенное

Дисперсия:

-- простая

-- взвешенная

Свойства дисперсии:

1. , с - const

2.

3.

4. Упрощенная формула расчета дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

Мода:

,

Медиана:

5 Вопрос. Моменты

Момент k - ого порядка:

Начальные моменты:

k	Порядок момента	Формула момента
0	нулевой
1	первый
2	второй
3	третий
4	четвертый

Начальные моменты относительно x₀:

k	Порядок момента	Формула момента
0	нулевой
1	первый
2	второй
3	третий
4	четвертый

Центральные моменты:

k	Порядок момента	Формула момента
0	нулевой
1	первый	, в силу свойства 3 средней арифметической
2	второй
3	третий
4	четвертый

Показатели асимметрии и эксцесса вариационного ряда.

Коэффициент асимметрии:

m_i m_i m_i

Мо=Ме= xi Мо Ме xi Ме Мо xi

АS=0 – нормальное (симметричное) распределение Мо=Ме=

АS>0 – правосторонняя асимметрия Мо<Ме<

АS<0 – левосторонняя асимметрия <Me<Mo

Коэффициент эксцесса (куртозиса):

m_i m_i m_i

xi xi xi

Ex=0 – нормальное распределение

Ex>0 – островершинность

Ех<0 – плосковершинность