Глава 8

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

 

Прямая линия, касательная к какой-либо кривой линии, принадлежащей поверхности, является касательной и к поверхности. Через любую точку поверхности можно провести множество кривых, а, следовательно, и множество касательных прямых. В дифференциальной геометрии доказывается, что все эти касательные прямые располагаются в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке (рис. 8.1, a).

Рис.8.1

Таким образом, касательная плоскость к поверхности есть множество всех касательных, проведенных к поверхности через одну и ту же точку. Положение плоскости в пространстве определяется двумя пересекающимися прямыми, поэтому для построения касательной плоскости к поверхности в заданной точке достаточно построить касательные к двум кривым линиям, проходящим через эту точку. В качестве таких кривых выбирают наиболее простые линии поверхности. Если данная поверхность является линейчатой, то за одну из таких кривых целесообразно взять прямолинейную образующую (касательная к прямой линии есть сама прямая).

Рис.8.2 Рис.8.3

Перпендикуляр, восставленный к касательной плоскости в точке ее касания с поверхностью, называется нормалью к поверхности. Касательная плоскость может иметь с поверхностью одну общую точку и располагаться по одну сторону от нее. Такие точки поверхности называются эллиптическими (рис. 8.5, а). Примерами поверхностей, все точки которых эллиптические, являются сфера, эллипсоид вращения и др.

Рис.8.4

Касательная плоскость к поверхности в некоторой ее точке может пересекать поверхность (рис. 8.5) по прямым или кривым линиям. Такие точки поверхности называются гиперболическими. Примерами поверхностей, имеющих гиперболические точки, могут служить однополостный гиперболоид, тор и др. Касательная плоскость может иметь с поверхностью общую линию - прямую или кривую (рис. 8.1, в). Точки кривой поверхности, принадлежащие линии касания, называются параболическими .

Рис.8.5

Примерами поверхностей, все точки которых параболические, являются цилиндрические, конические поверхности и торсы. Поверхность тора содержит все три вида точек. На рис. 8.2, 8.3, 8.4 приведены примеры построения касательных плоскостей к некоторым кривым поверхностям. Плоскость Г(l l') касается сферы в точке K (рис. 8.1, б); плоскость (l l') касается конуса по прямой [CS] (рис. 8.1в); плоскость Т П₂ касается тора в точке М и пересекает его по лемнискате, плоскость касается тора по окружности l (рис. 8.5).

ЛИТЕРАТУРА

1. Сенигов Н. П. Гусятникова Т. В. Методика решения задач по начертательной геометрии. - Челябинск: 1983. 2. Сенигов Н. П., Гусятникова Т. В. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. - Челябинск: ЧПИ, 1979. 3. Фролов С.А., Урванцова Н.3., Скорнякова А.Е. Методическое пособие для курсов повышения квалификации преподавателей. - М.: МВТУ им. Баумана, 1975. 4. Аксенова Е.А. и др. Курс начертательной геометрии. - М,: Высшая школа, 1974. 5. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии. - М.; Высшая школа, 1974. 6. Посвянский А.Д., Рыжов Н.Н. Сборник задач по начертательной геометрии. - М.: Издательство технико-теоретической литературы, 1969. 7. Рудаев А.К. Сборник задач по начертательной геометрии. - М.: Издательство технико-теоретической литературы, 1967. 8. Гордон В.О., Иванов Ю.Б., Солнцева Т. Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. - М.: Наука, 1967. 9. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии. - М.: Машгиз, 1959. 10. Фролов С. А. Начертательная геометрия. - М.: Машиностроение, 1983. 11. Сенигов Н. П., Гусятникова Т. В., Поздеева М. В. Упражнения по начертательной геометрии.- Челябинск: ЧПИ, 1983. 12. Савелон А.А. Плоские кривые: Справочное руководство. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. 13. Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа, 1973. 14. Четверухин Н.Ф. и др. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа, 1963.

84