1. Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа состоит в том, что одну из заданных плоскостей проекций (П₁ или П₂) заменяют новой плоскостью П₄. При этом положение второй плоскости проекций и заданных геометрических фигур остается неизменным. Новая плоскость проекций П₄ выбирается с таким расчетом, чтобы она занимала частное положение по отношению к рассматриваемой геометрической фигуре и была при этом перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Таким образом, исходная (старая) система плоскостей проекций П₂/П₁ может быть преобразована в новую систему П₂/ П₄ при замене плоскости П₁ плоскостью П₄ П₂ или в систему П₄/П₁ при замене плоскости П₂ плоскостью П₄П₁. Каждая из этих полученных систем может быть преобразована в новую путем замены плоскости проекций, не заменявшейся в предыдущем преобразовании. Таким образом, система П₂/ П₄ может быть преобразована в систему П₅/П₄ при замене плоскости П₂ плоскостью П₅ П₄, а система П₄/П₁ - в систему П₄/П₅ - при замене плоскости П₁ плоскостью П₅П₄ и т. д. Такое последовательное преобразование исходной системы плоскостей проекций позволяет получить новую систему, в которой рассматриваемые геометрические фигуры окажутся в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П₁ (или П₂), другая плоскость П₂ (или П₁) должна оставаться неизменной. Все свойства геометрических фигур и их изображений, ранее рассмотренные в исходной П₂/П₁ системе, справедливы и для новой системы плоскостей проекций. Каждая новая плоскость проекций П₄, П₅, ... условно называется так же, как та из основных, которую она заменяет. Так, например, плоскость П₄, заменяющая горизонтальную плоскость П₁, условно называется также "горизонтальной", хотя она не занимает горизонтального положения в пространстве. Рассмотрим инварианты преобразования, позволяющие по чертежу объекта, выполненному в старой системе, построить чертеж в новой системе плоскостей проекций.

Замена фронтальной плоскости проекций (преобразование системы п2/п1 в систему п4/п1)

Исходная (старая) система плоскостей проекций П₂/П₁, точка А пространства, ее ортогональные, проекции А₁ и А₂, изображены на рис. 3.2. Рис. 3.2

Заменим фронтальную плоскость проекций П₂, новой плоскостью П₄ (которую условно будем называть тоже фронтальной), перпендикулярной к П₁, и образующей с плоскостью П₂ некоторый угол (в случае проецирования точки этот угол произволен). В результате получим новую систему плоскостей проекций П₄/П₁. Плоскость П₁ является общей для старой и новой систем плоскостей проекций. В новой системе П₄/П₁ имеем: X₁₄ = П₁ П₄ - новая ось проекций, А₁ и А₄ - ортогональные проекции точки А. При переходе от старой системы П₂/П₁ к новой П₄/П₁ остаются неизменными (являются инвариантами преобразования): 1) плоскость П₁ и точка А; 2) горизонтальная проекция А₁, точки А; 3) расстояние точки А до плоскости П₁, т. е. | AA₁ | = | A₂A₁₂ | = | A₄A₁₄ |. На динамическом рисунке 3.3 показан механизм рассмотренного проекционного преобразования. Рис. 3.3 (анимационный)

Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А₁,А₂) проводим новую ось проекций х₁₄ (рис. 3.2), положение которой определяется положением новой фронтальной плоскости проекций П₄. Из точки А₁ проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х₁₄. На линии связи от точки А₁₄ откладываем отрезок | А₁₄А₄ | = | А₁₂А₂ |. Полученная таким образом точка А₄ является проекцией точки А на плоскость П₄. В новой системе плоскостей проекций П₄/П₁ положение точки А определяется проекциями А₁ и А₄.