5.3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними

Общей схемой решения задач этой группы является приведение заданной плоской фигуры или плоскости угла в положение, параллельное одной из плоскостей проекций. При выборе способа преобразования комплексного чертежа следует стремиться к простоте графических операций, их четкости и наименьшему количеству. В этом смысле способ вращения вокруг линии уровня является наиболее целесообразным для решения большинства задач данной группы, так как дает решение путем одного преобразования комплексного чертежа.

Примеры. 3адача 1. Определение действительной величины плоской фигуры. Решение задачи дано на рис. 3.13, 3.24, 3.27 гл. 3. Задача 2. Определение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми. Задача решается аналогично предыдущей. Задача 3 . Определение величины угла, образованного прямой и плоскостью. Задача 4. Определение величины угла между двумя плоскостями. Указания к решению: в задаче 3 плоскость необходимо преобразовать в плоскость уровня, прямую - в линию уровня путем трех последовательных замен плоскостей проекций (существуют и другие пути решения); в задаче 4 заданные плоскости необходимо преобразовать в проецирующие. Примечание. Решение задач 3 и 4 приведено в работе [1]. Решите их самостоятельно.

5.4. Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам

Общей схемой решения задач этой группы является: 1) преобразование заданной плоскости общего положения в плоскость уровня; 2) решение в плоскости уровня заданной метрической задачи; 3) перенесение решения на исходные проекции обратным преобразованием. Наиболее целесообразным при решении задач оказывается применение способа замены плоскостей проекций и вращения вокруг линии уровня.

Пример. Вписать окружность в треугольник АВС (рис. 5.2). Рис.5.2

Алгоритм: 1. Преобразовать треугольник АВС в плоскость уровня способом замены плоскостей проекций. 2. В плоскости уровня построить вписанную в треугольник окружность. 3. Обратным преобразованием построить проекции окружности в исходной системе плоскостей проекций. Построения. Для преобразования плоскости треугольника АВС в плоскость уровня выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале плоскость треугольника АВС преобразована в проецирующую, затем проецирующая плоскость преобразована в плоскость уровня. Построены проекции вписанной окружности в системе плоскостей проекций П₄/П₅. Проекции окружности в системе плоскостей проекций П₁/П₂, являющиеся эллипсами, построены по сопряженным диаметрам 1 - 2 и 3 - 4. На чертеже отмечены также точки касания окружности и сторон треугольника АВС.

Глава 6

КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

 

6.1. Общие положения 6.2. Примеры решения комплексных задач

6.1. Общие положения

Комплексными называются задачи, в которых на искомое наложены два условия и более. Их решение выполняется по следующей общей схеме: 1) вводятся вспомогательные геометрические фигуры (множества), каждая из которых, в отдельности удовлетворяет одному из условий, наложенных на искомое; 2) определяется искомое как результат пересечения введенных в задачу вспомогательных множеств. При решении конкретной комплексной задачи первый пункт приведенной выше общей схемы необходимо расшифровать, т. е. точно указать, сколько и какие именно вспомогательные множества (по виду и положению) должны быть введены для определения искомого. Этот вопрос может быть решен только после проведения анализа условий задачи. Анализ является первым этапом решения задачи. Он преследует следующие цели: а) выявить искомое, изучить заданные геометрические фигуры и представить их пространственное расположение; б) установить взаимосвязь искомого с каждой из заданных геометрических фигур и определить условия, которым он должен удовлетворять; каждое выявленное условие должно быть однозначным; в) выявить геометрические фигуры, каждая из которых является множеством элементов, удовлетворяющих одному из условий, наложенных на искомое; количество множеств равно количеству условий. Таким образом, анализ позволяет наметить содержание и последовательность пространственных операций, необходимых для определения искомого, т. е. составить алгоритм решения задачи. Вторым этапом решения задачи является исследование. Исследование проводится с целью выявления условий существования решения и числа решений. Выше было указано, что искомое определяется как результат пересечения некоторого числа вспомогательных геометрических фигур (множеств). Поэтому при исследовании необходимо иметь в виду следующее:

1. Две алгебраические поверхности порядков q₁ и q₂ пересекаются в общем случае по кривой порядка q₁ x q₂. В некоторых частных случаях эта кривая распадается на кривые более низких порядков. 2. Алгебраическая кривая порядка m пересекает произвольную плоскость в m точках. 3. Три алгебраические поверхности порядков q₁, q₂ и q₃ пересекаются в общем случае в q₁ x q₂ x q₃ точках, и, следовательно, поверхность порядка q и линии порядка m пересекаются в общем случае в q x m точках.

Примечание. В числе указанных точек пересечения могут быть мнимые и совпавшие. Только после составления алгоритма и исследования задачи можно приступать к третьему заключительному этапу ее решения - построению на комплексном чертеже, - т. е. к графической реализации алгоритма. При этом следует выполнить в установленной алгоритмом последовательности известные из предыдущих разделов курса элементарные построения, не задумываясь уже над расположением заданных и возникающих в пространстве геометрических фигур. Решая ту или иную задачу на комплексном чертеже, нужно выбрать такой путь, который позволит найти искомое при наименьшем количестве графических построений. Решение в этом смысле, как правило, будет и более точным. Выбор рационального пути не зависит от алгоритма решения задачи и является вопросом, связанным только с построением. При решении комплексных задач приходится пользоваться множествами [1].