Глава 4

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

4.1. Задачи, выражающие отношения между геометрическими фигурами 4.2. Задачи, в которых определяются общие элементы геометрических фигур          4.2.1. Определение общих элементов простейших геометрических фигур из условия принадлежности. (Вспомогательные позиционные задачи)        4.2.2. Первая позиционная задача (построение точек пересечения линии и поверхности)        4.2.3. Вторая позиционная задача (построение линии пересечения двух поверхностей)        4.2.4. Способ вспомогательных сфер        4.2.5. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

Задачи, в которых определяется относительное положение или общие элементы геометрических фигур, называются позиционными. К ним относятся задачи на принадлежность точки и линии поверхности, задачи, выражающие отношения между геометрическими фигурами, задачи на определение общих элементов геометрических фигур.

4.1. Задачи, выражающие отношения между фигурами

4.1.1. Относительное положение прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. а. Прямые параллельные Если прямые a и b параллельны, то их одноименные проекции параллельны, т.е.

а b a₁ b₁ a₂ b₂

(рис. 4.1). Для прямых общего положения справедливо и обратное утверждение:

a₁ b₁ a₂ b₂ а b

Таким образом, для того, чтобы судить по чертежу о параллельности двух прямых общего положения, достаточно иметь любую пару проекций каждой из них. Несколько иначе обстоит дело в случае, если прямые являются линиями уровня. Линии уровня параллельны, если их проекции на параллельную им плоскость проекций параллельны. Например, горизонтали h и h' (рис. 4.2) параллельны, так как параллельны их проекции h₁ и h'₁, а профильные прямые (АВ) и (СD)(рис. 4.3) не параллельны, так как их проекции на П₃ не параллельны. Рис. 4.1 Рис. 4.2 Рис. 4.3

б. Прямые пересекающиеся Если прямые с и d пересекаются, то точка К их пересечения проецируется в точки К₁ и К₂ пересечения их одноименных проекций. Очевидно, что К₁ и К₂ принадлежат одной линии связи (рис. 4.4 а, б). Справедливо и обратное утверждение: К₁ = с₁ d₁ и K₂= c₂ d₂ c d, если К₁ и К₂ принадлежат одной линии связи. в. Прямые скрещивающиеся Прямые непараллельные и непересекающиеся называются скрещивающимися. Один из возможных вариантов чертежа скрещивающихся прямых показан на рис. 4.5, где l m, так как l не параллельна m и l не пересекается с m. Рис. 4.5

Точка пересечения горизонтальных проекций скрещивающихся прямых является горизонтальной проекцией двух горизонтально конкурирующих точек 1 и 2, принадлежащих прямым l и m. Точка пересечения фронтальных проекций скрещивающихся прямых является фронтальной проекцией двух фронтально конкурирующих точек 3 и 4. По горизонтально конкурирующим точкам 1 и 2 определяется взаимное положение прямых l и m относительно П₁. Фронтальная проекция 1₂ точки 1, принадлежащей прямой l, расположена выше, чем фронтальная проекция 2₂ точки 2, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, прямая l расположена над прямой m. По фронтально конкурирующим точкам 3 и 4 определяется взаимное положение прямых l и m относительно фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция 4₁ точки 4, принадлежащей прямой l, расположена ниже, чем горизонтальная проекция 3₁ точки 3, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, прямая l расположена перед прямой m.