Описание дискретных систем с помощью дискретных передаточных функций.

Для получения дискретных передаточных функций используются дискретные преобразования Лапласа и z-преобразования. При таком преобразовании исходная решетчатая функция x(nТ), рассматривается в виде произведения последовательности импульсов единичной площади на исходную непрерывную функцию x(t). Если импульсный элемент является идеальным, то есть время импульса значительно меньше периода, то импульсы единичной площади можно представить в виде δ импульсов и тогда:

Эти δ импульсы определены в моменты времени, совпадающие с началом периода. Входная функция x(t) определена в моменты времени nT. Обозначим решетчатую исходную функцию , а черезбудем обозначать непрерывную функцию, определенную в момент времениnT.

Определим решетчатую функцию в некоторый фиксированный момент времени и найдем изображение по Лапласу.

Используя свойства свертки функции:

Тогда для последовательности импульсов получим:

Введем замену переменной:

- z-преобразование.

Для смещенной решетчатой функции используется модифицированное z-преобразование.

Передаточная функция дискретной системы.

Рассмотрим некоторую разомкнутую дискретную систему, содержащую идеальный импульсный элемент и приведенную непрерывную часть, весовая функция которой определяется как . Ей соответствует решетчатая весовая функция.

Сигнал, поступающий с идеального импульсного элемента на приведенную непрерывную часть можно представить в виде последовательностей δ импульсов.

Реакция, приведенная непрерывной частью на 1 импульс в момент времени t=m, будет определяться произведением . Тогда реакция на последовательность импульсов будет представлять собой линейную комбинацию таких произведений.

Воспользуемся z-преобразованием:

Используя теорему свертки, и переходя к решетчатой функции, получим:

Обозначим z-преобразование от весовой функции через .

Передаточная функция дискретной замкнутой системы:

Она определяется как:

Определим передаточную функцию дискретной системы. Импульсный элемент, который формирует импульсы конечной длительности t_и, и амплитуды .

Такой импульс можно представить в виде 2 ступенчатых воздействий:

Весовая функция в таком случае будет определяться так:

,

тогда сигнал на выходе приведенной непрерывной части в любой момент времени t=m будет определяться:

При подаче 1 импульса:

При последовательности импульсов:

z-преобразование данного выражения будет иметь вид:

Используя теорему свертки, и переходя к решетчатой функции, получим:

Обозначим через .

Вопросы для самоконтроля.

1. Идеальные и реальные импульсные элементы.

2. Квантование по времени.

3. Квантование по уровню.

4. Квантование по времени и уровню.

5. Способы модуляции.

6. Структурная схема использования ЭВМ в САУ.

7. Понятие решетчатой функции и дискретного преобразования Лапласа.

8. Передаточная функция дискретных систем.

Лекция 6. Математическое описание многомерных объектов или систем

Лекция 6

Цель. Изучить математическое описание многомерных объектов и систем управления.

Задачи:

1. Изучить понятие многомерных непрерывных и импульсных систем.

2. Изучить построение математической модели многомерных систем.

Непрерывная система, состоящая из непрерывных элементов и, имеющая несколько входных и выходных каналов, называется непрерывной многомерной системой.

Система, содержащая приведенную непрерывную части, несколько импульсных элементов, несколько входных и выходных каналов называется многомерной импульсной системой.

Импульсные элементы могут вырабатывать импульсы различной амплитуды, длительности, частоты. В том случае, если периоды повторения во всех импульсных элементах совпадают, то многомерная импульсная система называется синхронной. Если в синхронной импульсной системе совпадают моменты возникновения импульсов, то систему называют синфазной.

При математическом описании многомерной непрерывной системы, получают систему дифференциальных уравнений, связывающих между собой входную и выходную величины. Количество уравнений будет определяться количеством выходных сигналов.

Обозначим:

- вектор столбец входных переменных,

- вектор столбец выходных переменных,

- вектор столбец внутреннего состояния системы.

Тогда, с помощью уравнений состояния многомерную непрерывную систему можно описать в виде:

При этом выходной сигнал будет определяться уравнением:

.

Размеры матриц:

В том случае, если у системы 1 вход и 1 выход, получаем:

.

Размеры матриц:

Любую многомерную непрерывную систему можно записать с помощью функциональной зависимости:

При математическом описании дискретных многомерных систем, состояние системы будет определяться:

Если период квантования постоянен и равен 1, то получим.