Сведение входных воздействий к типовым.
При определении реакции системы, на любое входное воздействие x(t) можно использовать непосредственно дифференциальное уравнение, решение которого при заданных начальных условиях позволяет определить y(t), а также можно свести исходное воздействие к одному из типовых.
1. Сведение реакции системы к переходной функции.
Определим изображение выходной величины, при подаче на вход некоторого воздействия x(t).
- интеграл Дюамеля.
2. Сведение к импульсной переходной функции.
Вопросы для самоконтроля.
Ступенчатое входное воздействие. Способы определения
Импульсное входное воздействие. Способы определения.
Гармоническое входное воздействие. Способы определения.
Сведение входных воздействий к типовым.
Лекция 4. Математическое описание объектов или систем с помощью графов.
Цель. Изучить возможности построения математических моделей систем управления при помощи графов.
Задачи:
Изучить способы описания систем при помощи графов.
Изучить матричное описание графов
Изучить способы оптимизации графов.
Граф
– это пара множеств x,u,
где x
– это множество вершин, u
– множество дуг графа их соединяющих.
,
где
.
Если дуги графа имеют направление, обозначенное стрелками, граф называется ориентированным, если дуги не направленные, то граф – неориентированный.
Различают графы взвешенные и не взвешенные.
Граф называется взвешенным, если каждой его дуге приписывается некоторое значение, называемое весом дуги. Если вес дуги не определен, граф – не взвешенный.
Ориентированные графы.
Направленный отрезок, соединяющий одну вершину с другой, называется дугой.
Последовательность дуг, у которых конец предыдущей дуги совпадает с началом, называется путем.
Каждому пути можно поставить в соответствии его длину. Длина пути определяется количеством дуг, входящих в этот путь. Длина пути может быть определена суммой весов дуг входящих в этот путь.
Простой путь – это путь, у которого ни одна из дуг не встречается дважды.
Путь называется элементарным, если ни одна из его вершин не встречается дважды.
Контур – это путь начало и конец, которого совпадают.
Элементарный контур – это контур, у которого все вершины различны.
Петля – это дуга, соединяющая одну и ту же вершину.
Неориентированные графы.
Ребро – это отрезок, соединяющий 2 вершины.
Цепь – это последовательность ребер.
Цикл – это цепь, у которой начало и конец совпадают.
Для обоих графов.
Степень вершины – это число ребер или дуг, входящих или выходящих из вершины.
Граф называется связанным, если любые его две вершины можно соединить путем или цепью.
Дерево графа – это совокупность дуг или ребер, которые соединяют все вершины графа, но не образуют ни одного цикла или контура.
Величина дерева определяется суммой его ветвей, то есть количеством ребер или дуг в него входящих. Если количество вершин обозначим через n, а количество дуг через m, то количество ветвей q=n-1.
Хорда – это ветвь графа, которую необходимо отбросить, чтобы получить дерево. Количество хорд в графе определяется как p=m-(n-1).
Ранг графа – это число хорд, входящих в этот граф.
Матричное описание графов.
1. Две вершины называются смежными, если существует дуга или ребро их соединяющая.
Матрица смежности для неориентированного графа определяется так:
Свойства матрицы смежности.
- сумма элементов матрицы смежности в каждой строке равна степени соответствующей вершины.
- матрица смежности является симметричной относительно главной диагонали, с 0 на ней.
Для ориентированного графа.
2. Вершина и дуга называются инцидентными, если дуга ее касается.
матрица инцидентности для неориентированного графа.
матрица инцидентности для ориентированного графа.
Свойства:
- сумма элементов каждого столбца матрицы равна 0.
- любой определитель, содержащийся в матрице должен быть равен 0,+1,-1.
- любой определитель матрицы инцидентности, соответствующий замкнутому контуру всегда равен 0.
Вопросы для самоконтроля.
Ориентированные графы.
неориентированные графы.
Алгоритмы оптимизации графов.
Составление матрицы смежности для графов.
Составление матрицы инцидентности для графов.
Сигнальные графы.