Властивості і графіки синуса і косинуса.

Дослідження реальних процесів, які моделюються за допомогою тригонометричних функцій, зводиться до вивчення властивостей функцій ,

Властивості: ,

1. Функції , визначені на всій числовій осі.

- кожному дійсному числу поставлена у відповідальність точка одиничного кола, а тому і її абсциса та ордината, тобто косинус і синус числа

2) Множиною значень функцій , є відрізок

Всі значення косинуса і синуса містяться між і . Оскільки при непереривному переміщенні точки по одиничному колу її проекції на осі та неперервне переміщуються вздовж вертикального та горизонтального діаметрів, функції , набуватимуть всіх значень з відрізка .

3. Функція непарна, а функція парна, тобто для кожного

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат, графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

4) Функції, - періодичні, з найменшим додатним періодом

Функція називається періодичною, якщо існує таке число , що область визначення функції разом із коленою точкою містить точки і при цьому виконується рівність Число називається періодом функції.

- найменший додатний період косинуса, синуса.

5. Нулі функції , це точки перетину осі

5. Функція додатна на кожному з інтервалів , від’ємна на кожному з інтервалів

Функція додатна на кожному з проміжку і від’ємна на кожному з проміжків

5. Функція зростає на кожному з проміжків і спадає на кожному з проміжків

Функція зростає на кожному з проміжків і спадає на кожному з проміжків

5. Найбільшого значення, що дорівнює функція набував при і найменшого значення, яке дорівнює при

Функція набуває найбільшого значення , що дорівнює при і найменшого значення , що дорівнює при

.

9) Функції , неперервні на всій числовій осі.

Лекція № 6 Побудова графіків тригонометричних функцій. Перетворення графіків тригонометричних функцій.

План вивчення теми

1. Графік функції .

2. Графік функції .

3. Графік функції та інші графіки.

4. Приклади.

Домашнє завдання: [3]гл.3§1-3 с.164-170, [4] p1 §5,6; опорний конспект.

А як побудувати, наприклад, графіки функцій , ?

1.Для побудови графіка функції треба графік функції перенести вздовж вісі Оу на одиниць вверх, якщо , та на одиниць вниз, якщо .

2. Для побудови графіка функції необхідно графік функції перенести вздовж вісі Ох на одиниць вправо коли , та на одиниць вліво коли Побудуємо

3. Для побудови графіка функції необхідно графік функції відобразити симетрично відносно вісі Ох.

Побудуємо

4. Для побудови графіка функції необхідно графік функції відобразити симетрично відносно вісі Оу.

Побудуємо .

5. Для побудови графіка функції необхідно додатну частину графіка лишити незмінною , а від’ємну частину відобразити симетрично вісі Ох.

Побудуємо .

5. 

   Для побудови графіка необхідно ординати усіх точок графіка помножити на , лишив при цьому незмінними абсциси. Якщо графік получається з графіка розтягненням його від вісі Ох у раз, а при - стисканням до вісі Ох в раз. Деформації графіка виконується в перпендикулярному напрямі до вісі Ох.

Щоб побудувати графік функції , треба графік функції «розтягнути» від осі у 3 рази. Чому?

Побудуємо

7. Для побудови графіка необхідно абсциси усіх точок графіка поділити на , лишив ординати незмінними. Якщо ,то графік получається з графіка стисканням його до вісі Оу в раз, а при розтяганням графіка від вісі Оу в раз. Деформації графіка виконується в перпендикулярному напрямі до вісі Оу.

Щоб побудувати графік функції , треба графік функції «стиснути» від осі вдвічі. Чому?

Щоб побудувати графік функції , треба графік функції перенести на 2 одиниці вліво.

Так само можна перетворювати й інші графіки тригонометричних функцій.