Вопрос № 26: Поверхности второго порядка:

1. Поверхности второго порядка.

   1. Эллипсоид.

   2. Конус.

   3. Гиперболоиды.

2. Канонические уравнения.

3. Исследование форм методом сечений.

С помощью поворота можно исключить смежные произведения переменных, каждая их которых определяет свою поверхность (эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндроид).

Исследование функции поверхности проводится при помощи канонического уравнения с помощью метода сечений.

Если все переменные в уравнении есть и все входят квадратично, то:

1. Если все слагаемые положительны, то – Эллипсоид.

   1. Строим координаты сечения х=0 (плоскость по YZ)

   2. 

   3. 

2. – Однополосный гиперболоид.

   1. Гипербола:

   2. Эллипс:

   3. Парабола:

3. – двух полосный гиперболоид:

   1. Гипербола:

   2. Гипербола:

   3. Эллипс:

4. – Эллиптический конус

   1. Пересекающиеся прямые:

   2. Эллипс:

   3. Пересекающиеся прямые:

Вопрос № 27: Поверхности второго порядка:

1. Поверхности второго порядка

   1. Параболоиды.

   2. Цилиндроиды.

2. Канонические уравнения.

3. Исследование форм методом сечений.

Все переменные есть, но две из них входят с квадратами, а одна линейно, получаемые таким образом поверхности называются параболоидами.

1. – эллиптический параболоид.

   1. – Парабола.

   2. – Парабола.

   3. – Эллипс.

2. – Гиперболический параболоид.

   1. – Парабола, ветви вверх.

   2. – Парабола, ветви вниз.

   3. – Гипербола, симметрия относительно ОХ

Цилиндроиды:

Отсутствует одна из переменных:

3. – Эллиптический цилиндр.

   1. – две параллельные прямые.

   2. – две параллельные прямые.

   3. – Эллипс.

4. 

   1. – две параллельные прямые.

   2. – две параллельные прямые.

   3. – Гипербола.

5. – Параболический цилиндр.

Вопрос № 28: Квадратичная форма многих переменных и её матрица:

1. Квадратичная форма многих переменных.

   1. Её матрицы.

2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

   1. Приведение квадратичной формы к взвешенной сумме квадратов.

Квадратичной формой N переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных:

Квадратичную форму всегда можно представить в матричном виде:

Диагональным, или каноническим видом квадратичной формы называют её вид в случае, если матрица коэффициентов является диагональной:

Для выполнения преобразования необходимо установить связь между исходными и новыми переменными

Линейное преобразование одной группы переменных: такое преобразование, при котором каждая из переменных х – линейная комбинация переменной у:

Если С не вырождена, то есть её определитель не равен нулю, существует обратная к ней матрица, такая, что:

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо произвести такие преобразования, что бы матрица квадратичной формы стала диагональной.

Условия приведения квадратной матрицы к диагональному виду:

Если квадратная матрицы порядка п имеет несколько линейно независимых собственных векторов и соответствующих собственных значений, то она может быть приведена к диагональному виду, причём элементы диагональной матрицы являются собственные значения.

Пример: