Понятие об ортогонально матрице:

Для того, что бы новая, повёрнутая система координат была прямоугольной необходимо, что бы матрицы линейных преобразований была ортогональной.

Матрица линейных преобразований называется ортогональной, если её столбцы являются ортогональными арифметическими векторами.

Арифметическим вектором в линейной алгебре называется столбец из нескольких чисел

Скалярным произведением двух векторов одной и той же размерности назы­вается сумма по парных произведений соответствующих координат.

Нормой вектора называется квадратный корень из его скалярного квадрата.

Матрица С называется ортогональной, если её столбцы нормированы.

Ортогональная матрица обладает следующим свойством: операцию обращения можно заменить операцией транспонирования.

Процедура Шмидта ортогонализации матриц:

Любую систему линейно независимых векторов, то есть базис п-мерного пространства, можно преобразовать в ортогональную систему векторов с помощью следующей рекуррентной процедуры:

Любая арифметическая система координат может быть преобразована в прямоугольную систему координат:

Доказательство:

Применяя Процедуру Шмидта к столбцам невырожденной матрицы С можно сделать её ортогональной:

Приведение квадратичной формы к каноническому виду:

Для этого воспользуемся свойством собственных векторов и собственных значений матрицы А. Так как матрица А симметрична, все её собственные значения, среди которых могут быть кратные, являются действительными числами.

Каждому кратности соответствует штук собственных векторов (линейно независимых). Следовательно, полная система собственных векторов матрицы А состоит из п штук, и все они линейно независимы, по этому матрицу из квадратичной формы может быть преобразована к диагональному виду:

Так как все столбцы линейно независимой матрицы Т можно сделать ортогональными с помощью процедуры Шмидта, и нормированными, то:

В результате матрицу квадратичной формы можно представить в виде: , тогда подставив это выражение в формулу квадратичной формы, получим:

Замена

Любую квадратичную форму можно преобразовать с помощью линейного ортогонального преобразования в новые переменные, при этом старые и новые переменные будут связаны , где U состоит из ортогональной и нормированной системы собственных векторов матрицы А квадратичной формы, при этом весовыми коэффициентами канонического представления являются собственный значения матрицы А.

Вопрос № 29: Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных:

1. Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных.

   1. Критерии знакоопределенности.

      1. Собственных значений.

      2. Сильвестра.

Понятие знакоопределённости квадратичной формы используется для:

1. Определение типа кривой или поверхности второго порядка по её общему уравнению.

2. При исследовании функции многих переменных на экстремум, так как достаточным условием является знакоопределенность второго дифференциала.

Квадратичная форма называется положительно определённой, если она при любых ненулевых значениях своих аргументов принимает только положительные значения.

Если квадратичная форма меньше, либо равна нулю, то она отрицательно полу определена, иначе не определена.