- •Содержание:
- •Вопрос № 1: Матрица, виды матриц:
- •Частные виды матриц:
- •Операции над матрицами:
- •Правило Крамара:
- •Доказательство:
- •Вопрос № 7: Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы:
- •Свойства.
- •Теорема о ранге.
- •Вопрос № 9: Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров:
- •Достаточное условие:
- •Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных:
- •Прямой ход метода:
- •Свойства.
- •Свойства.
- •Свойства собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Вопрос № 16: Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Вопрос № 17: Линейные операции над векторами:
- •Векторная алгебра:
- •Свойства.
- •Свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Вопрос № 20: Смешанное произведение векторов:
- •Свойства.
- •Свойства смешанного произведения:
- •Вопрос № 21: Прямая на плоскости:
- •Вопрос № 26: Поверхности второго порядка:
- •Вопрос № 27: Поверхности второго порядка:
- •Цилиндроиды:
- •Вопрос № 28: Квадратичная форма многих переменных и её матрица:
- •Условия приведения квадратной матрицы к диагональному виду:
- •Понятие об ортогонально матрице:
- •Процедура Шмидта ортогонализации матриц:
- •Доказательство:
- •Приведение квадратичной формы к каноническому виду:
- •Вопрос № 29: Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных:
- •Критерии знакоопределённости квадратичной формы: Критерий собственных значений матрицы:
- •Критерий Сильвестра:
Содержание:
Вопрос № 1: Матрица, вид матриц 3
Вопрос № 2: Определитель п-ного порядка 5
Вопрос № 3: Свойства определителей 6
Вопрос № 4: Обратная матрица 7
Вопрос № 5: Свойство обратной матрицы 8
Вопрос № 6: Системы линейных алгебраических уравнений 9
Вопрос № 7: Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы 11
Вопрос № 8: Миноры матриц 12
Вопрос № 9: Вычисление миноров матриц методом окаймляющих миноров 13
Вопрос № 10: Вычисление ранга матриц методом элементарных преобразований 14
Вопрос № 11: Теорема Кронекера-Капели 15
Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных 17
Вопрос № 13: Ортонормированная система линейных алгебраических уравнений 18
Вопрос № 14: Фундаментальная система решений однородной системы 19
Вопрос № 15: Собственные векторы и собственные значения матрицы 20
Вопрос № 16: Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы 21
Вопрос № 17: Линейные операции над векторами 22
Вопрос № 18: Скалярное произведение векторов 25
Вопрос № 19: Векторное произведение векторов 26
Вопрос № 20: Смешанное произведение векторов 27
Вопрос № 21: Прямая на плоскости 29
Вопрос № 22: Плоскость в пространстве 30
Вопрос № 23: Прямая в пространстве 32
Вопрос № 24: Три типа взаимного расположения двух прямых в пространстве 33
Вопрос № 25: Кривые второго порядка 34
Вопрос № 26: Поверхности второго порядка: Эллипсоид, конус и гиперболоид 36
Вопрос № 27: Поверхности второго порядка: Параболоиды и Цилиндроиды 39
Вопрос № 28: Квадратичная форма многих переменных и её матрица 40
Вопрос № 29: Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных 44
Вопрос № 1: Матрица, виды матриц:
-
Матрица.
-
Виды.
-
Операции над матрицами.
-
Свойства.
-
-
А – матрица называется прямоугольной таблицей чисел, состоящей из m строк и п столбцов.
Элемент матрицы, стоящий на пересечении i строки и j столбца, принято , в результате всю матрицу можно записать в такой форме:
Частные виды матриц:
-
Матрица – строка.
-
Матрица – столбец.
-
Матрица – число.
-
Нулевая матрица –
-
Квадратная матрица.
-
Единичная – все элементы нули, кроме элементов главной диагонали
-
Треугольная
-
Верхняя
-
Нижняя
-
-
Диагональная
-
Равными называют матрицы одного порядка, соответствующие элементы которых равны между собой.
Операции над матрицами:
-
Сложение1 – суммой двух матриц А и В одного порядка называют матрицу С того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов двух первых матриц. Матрицы разных порядков сложению не подлежат.
-
Умножение матрицы на число: Произведение матрицы и числа – есть матрица того же порядка, каждый элемент которой умножен на число.
-
Произведение матриц согласованных2 порядков:
-
Транспонирование – это операция, при которой элементы строк матрицы А становятся элементами столбцов матрицы В.
Свойства линейных операций над матрицами:
-
А+В=В+А
-
А+(В+С)=(А+В)+С
-
а(А+В)=аА+аВ
-
(а+в)А=аА+вА
-
а(вА)=(ав)А
-
(А+В)Т=АТ+ ВТ
-
А-В=А+(-1)В
-
А-А=0
Следствие:
(аА+вВ)Т=аАТ+вВТ
Свойства умножения матриц:
-
-
АВС=А(ВС)≠(АС)В
-
А(В+С)=АВ+АС
-
С(А+В)=СА+СВ
-
(С+В)А=ВА+СА
-
-
-
-
(АВ)Т=ВТАТ
-
(АТ)Т=А
Замечание:
Вопрос № 2: Определители n-ного порядка:
-
Определители п-ного порядка.
-
Определение
-
-
Минор элемента.
-
Алгебраическое дополнение элемента.
-
Способы вычисления определителей.
-
Понижение порядка.
-
Приведение к треугольному виду.
-
Определитель квадратной матрицы – число, которое вычисляется по следующему правилу:
Пример:
Правило треугольников:
Минор:
Минором квадратной матрицы п-ного порядка называется определитель п-1-ого порядка, полученный из определителя матрицы А вычёркиванием i-той строки и j-того столбца.
Алгебраическое дополнение:
Алгебраическим дополнением называется минор этого элемента, взятый с определённым знаком, который определяется по формуле:
Теорема о понижении порядка определителя:
Теорема утверждает, что любой определитель равен сумме по парных произведений всех элементов какой либо строки (столбца) на алгебраические дополнения.
Вопрос № 3: Свойства определителей:
-
При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
-
При перестановке двух строк определителя, он меняет свой знак, но по абсолютной величине не меняется.
-
При умножении определителя на число, достаточно умножить любую строку на это число.
-
Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.
-
Свойство упрощения определителя: Определитель не изменяется, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой его строки, предварительно умножив их на одно и тоже любое число.
-
Сумма определителей, отличающихся одной строкой, равна определителю с теми же элементами, у которого вместо различных строк стоит строка из суммы элементов различных строк.
-
Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен нулю.
-
Сумма попарных произведений элементов кокой либо строки и алгебраических дополнений соответствующих элементов другой строки равна нулю.
-
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
-
Определитель треугольной матрицы равен произведению своих диагональных элементов.
Вопрос № 4: Обратная матрица:
-
Обратная матрица.
-
Теорема единственности существования обратной матрицы.
-
Доказательство.
-
-
Обратная матрицы служит для решения матричных уравнений и заменяет операцию деления матриц.
Обратной к квадратной матрице Ап называется матрица Ап-1, которая при умножении на исходную, как справа, так и слева, даёт единичную матрицу.
Порядок:
Единственность обратной матрицы:
Если у матрицы А существует обратная матрицы А-1, то она единственна.
Доказательство:
Предположим, что существует: , тогда , что и требовалось доказать.
Вопрос № 5: Свойства обратной матрицы, алгоритм её вычисления:
-
Свойства обратной матрицы.
-
Алгоритм вычисления.
-
-
Решение простейших линейных матричных уравнений.
Существование обратной матрицы:
Если для матрицы А существует обратная, то
Доказательство:
Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, или особенной.
Вырожденная матрица не имеет обратной.
Вычисление обратной матрицы:
Для любой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, элементы которой вычисляются по формуле:
Доказательство:
Проверим справедливость определения квадратной матрицы:
Эта теорема даёт возможность получения обратной матрицы при помощи присоединённой:
Обратная матрица равна произведению присоединённой на величину, обратную определителю матрицы А.
Свойства операции обращения:
-
(АВ)-1=В-1А-1
-
(аА)-1=а-1А-1
-
(А-1)-1=А
-
(АТ)-1=(А-1)Т
Решение простейших линейных матричных уравнений:
-
-
-
-
-
– Не решаемо.
Вопрос № 6: Системы линейных алгебраических уравнений:
-
Системы линейных алгебраических уравнений.
-
Основные понятия.
-
Матричная форма записи.
-
-
Правело Крамара.
Система т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:
На основе такой записи можно составить матрицу коэффициентов: , столбец неизвестных: , и столбец свободных членов: , тогда систему можно записать в виде матричного уравнения:
Решением системы линейных алгебраических уравнений называется упорядоченная последовательность чисел, подстановка которых вместо соответствующих неизвестных в систему обращает каждое из её уравнений в арифметическое тождество.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Решить систему линейных алгебраических уравнений, значит доказать, что она не совместна, а если она совместна, значит получить либо единственное решение, либо множество решений.