- •Содержание:
- •Вопрос № 1: Матрица, виды матриц:
- •Частные виды матриц:
- •Операции над матрицами:
- •Правило Крамара:
- •Доказательство:
- •Вопрос № 7: Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы:
- •Свойства.
- •Теорема о ранге.
- •Вопрос № 9: Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров:
- •Достаточное условие:
- •Вопрос № 12: Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных:
- •Прямой ход метода:
- •Свойства.
- •Свойства.
- •Свойства собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Вопрос № 16: Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы:
- •Вопрос № 17: Линейные операции над векторами:
- •Векторная алгебра:
- •Свойства.
- •Свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Вопрос № 20: Смешанное произведение векторов:
- •Свойства.
- •Свойства смешанного произведения:
- •Вопрос № 21: Прямая на плоскости:
- •Вопрос № 26: Поверхности второго порядка:
- •Вопрос № 27: Поверхности второго порядка:
- •Цилиндроиды:
- •Вопрос № 28: Квадратичная форма многих переменных и её матрица:
- •Условия приведения квадратной матрицы к диагональному виду:
- •Понятие об ортогонально матрице:
- •Процедура Шмидта ортогонализации матриц:
- •Доказательство:
- •Приведение квадратичной формы к каноническому виду:
- •Вопрос № 29: Знакоопределённые квадратичные формы многих переменных:
- •Критерии знакоопределённости квадратичной формы: Критерий собственных значений матрицы:
- •Критерий Сильвестра:
Свойства собственных векторов и собственных значений матрицы:
-
Максимальное количество линейно независимых собственных векторов, соответствующих данному собственному значению .
-
Линейная комбинация из собственных векторов соответствует одному и тому же, в свою очередь являющемуся собственным вектором для этого собственного значения.
-
Собственные векторы с попарно различными «чего-то такое???» значениями являются ??? Проверить¿¿¿
-
Если матрица АТ=А, то все её собственные значения являются действительными числами.
-
Спектр вырожденной матрицы А содержит хотя бы один нулевой элемент.
-
Если матрица имеет пары ??? комплексные сопряженные ¿¿¿,!!! То соответствующие им собственные векторы тоже комплексные.
Вопрос № 16: Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы:
Для вычисления собственных значений матрицы необходимо составить характеристическое уравнение: составив уравнение можно найти его корни, они-то и будут собственными значениями матрицы.
Собственные векторы матрицы соответствуют собственным значениям матрицы.
Вопрос № 17: Линейные операции над векторами:
-
Линейные операции над векторами.
-
Базис.
-
Координаты вектора.
-
Аффинная система координат.
-
На плоскости.
-
В пространстве.
-
-
Прямоугольная система координат.
-
На плоскости.
-
В пространстве.
-
Аналитическая геометрия – это методы решения геометрических задач с помощью аналитических операций.
Векторная алгебра:
-
Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой, который можно переносить параллельно самому себе.
-
Модулем вектора называется его длина.
-
Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают.
-
Коллинеарными называются вектора, лежащие на параллельных прямых.
-
Равными называются коллинеарные, со направленные вектора, имеющие одинаковую длину.
-
Компланорными называются векторы, расположенные в одной и той же, или в параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами:
-
Сложение:
-
Умножение на число: Вектор, умноженный на минус единицу меняет своё направление на противоположенное.
-
Вычитание: – это сложение с вектором, умноженным на минус единицу3.
Теорема о взаимной колиниарности векторов:
Для всех векторов а, не равных нулю, все вектора в колиниарны а, то вектор в можно представить, как произведение вектора а на некоторое ненулевое число.
Свойства линейных операций над векторами:
Линейная зависимость и независимость геометрических векторов:
Линейной комбинацией геометрических векторов называется вектор
Системой из N векторов называется линейно независимой, если ни один из них не является и не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов этой системы.
Если линейная комбинация всех этих векторов является нулевым вектором, то в случае равенства нулю всех «С»: , иначе если “Ci” не равно нулю, то система векторов называется линейно зависимой.
Теорема №1:
Два колиниарных вектора всегда линейно зависимы.
Теорема №2:
Три комплонарных4 вектора всегда линейно зависимы.
Теорема №3:
Любые четыре геометрических вектора линейно зависимы.
Базис:
Базисом на плоскости, или в пространстве называется максимальная система из линейно независимых векторов.
-
Базис на прямой является единственным вектором, параллельным данной прямой.
-
Базис на плоскости – это любая пара из не коллинеарных векторов, параллельных этой плоскости.
-
Базис в пространстве – это любые три не комплонарных вектора.
Разложение вектора по базису называется представление его в виде линейной комбинации векторов базиса.
Теорема:
Для заданного вектора а и выбранного базиса разложение, по базису является единственным.
Координаты вектора в базисе:
Координатами любого вектора в пространстве (в базисе) называются коэффициенты его разложения базису.
Свойства:
При сложении векторов одного и того же базиса, складываются соответствующие координаты.
При умножении вектора на число, умножаются все координаты этого вектора число.
Системы координат на плоскости и в пространстве:
Аффинная система координат:
Аффинной системой координат называется совокупность из точки – начала координат, и базиса.
Не аффинная система координат:
Не аффинной системой координат является полярная (цилиндрическая, сферическая) система координат.
Декартова система координат:
Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная Декартова система координат.
Вопрос № 18: Скалярное произведение векторов: