- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский Государственный Университет»
- •5.1 Основные законы
- •6.1 История
- •Классическая механика
- •Основные понятия
- •Основные законы Принцип относительности Галилея
- •Законы Ньютона
- •Новое время
- •Новейшее время
- •Электромагнитное взаимодействие
- •Термодинамика
- •Разделы термодинамики
- •Физический смысл термодинамики Необходимость термодинамики
- •[Законы — начала термодинамики
- •Основные формулы термодинамики Условные обозначения
- •Формулы термодинамики идеального газа
- •Термодинамика сплошных сред
- •Статистическая физика
- •Основные понятия
- •Статистическая физика и термодинамика
- •Математические методы в статистической физике
- •Учёные и университеты
- •Достижения
- •Классические работы
- •Квантовая механика
- •История
- •Математические основания квантовой механики
- •Шрёдингеровское описание
- •Стационарное уравнение Шрёдингера
- •Неопределенность между координатой и импульсом
- •Неопределенность между энергией и временем
- •Необычные явления, мысленные эксперименты и парадоксы квантовой механики
- •Разделы квантовой механики
- •Интерпретации квантовой механики
- •Комментарии
- •Теория относительности
- •Область применения
- •Принятие научным сообществом
- •Специальная теория относительности
- •Общая теория относительности
Математические основания квантовой механики
Существует несколько различных эквивалентных математических описаний квантовой механики:
-
При помощи уравнения Шрёдингера;
-
При помощи операторных уравнений фон Неймана и уравнений Линдблада;
-
При помощи операторных уравнений Гейзенберга;
-
При помощи метода вторичного квантования;
-
При помощи интеграла по траекториям;
-
При помощи операторных алгебр, так называемая алгебраическая формулировка;
-
При помощи квантовой логики.
Шрёдингеровское описание
Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях:
-
Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами комплексного сепарабельного гильбертова пространства , причем векторы и описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда , где — произвольное комплексное число.
-
Каждой наблюдаемой можно однозначно сопоставить линейный самосопряжённый оператор. При измерении наблюдаемой , при чистом состоянии системы в среднем получается значение, равное
где через обозначается скалярное произведение векторов и .
-
Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шрёдингера
где — гамильтониан.
Основные следствия этих положений:
-
При измерении любой квантовой наблюдаемой, возможно получение только ряда фиксированных её значений, равных собственным значениям её оператора — наблюдаемой.
-
Наблюдаемые одновременно измеримы (не влияют на результаты измерений друг друга) тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряжённые операторы перестановочны.
Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Не все состояния квантовомеханических систем, однако, являются чистыми. В общем случае состояние системы является смешанным и описывается матрицей плотности, для которой справедливо обобщение уравнения Шрёдингера — уравнение фон Неймана (для гамильтоновых систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада.
Стационарное уравнение Шрёдингера
Пусть амплитуда вероятности нахождения частицы в точке М. Стационарное уравнение Шрёдингера позволяет ее определить. Функция удовлетворяет уравнению:
где —оператор Лапласа, а — потенциальная энергия частицы как функция .
Неопределенность между координатой и импульсом
Пусть — среднеквадратическое отклонение координаты частицы , движущейся вдоль оси , и — среднеквадратическое отклонение ее импульса. Величины и связаны следующим неравенством:
где h — постоянная Планка, а Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и скорость частицы. Например, чем больше точность определения координаты частицы, тем меньше точность определения ее скорости.
Неопределенность между энергией и временем
Пусть ΔЕ — среднеквадратическое отклонение энергии частицы, и Δt — время, требуемое для обнаружения частицы. Время Δt для обнаружения частицы с энергией E±ΔЕ определяется следующим неравенством: