Кривые второго порядка

ОКРУЖНОСТЬ с центром радиуса с центром радиуса
ЭЛЛИПС с центром полуосями и с центром , полуосями и Фокусы Эксцентриситет Фокальные радиусы Директрисы	, , ,
ГИПЕРБОЛА с центром полуосями и с центром полуосями и Фокусы Эксцентриситет Фокальные радиусы Директрисы	,, , > 1. для точек правой ветви ,
ПАРАБОЛА с вершиной с вершиной Уравнение директрисы
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ВИДА определяет: окружность эллипс гиперболу параболу	если если если если
СЛУЧАИ ВЫРОЖДЕНИЯ мнимый эллипс пара мнимых пересекающихся прямых пара параллельных прямых пара мнимых параллельных прямых пара совпадающих прямых

4. Плоскость в пространстве

Плоскость является примером простейшей поверхности в пространстве. Плоскость в пространстве можно задать разными способами, каждому из которых соответствует определенный вид ее уравнения.

4.1. Уравнения плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Составим уравнение плоскости в декартовой системе координат в пространстве.

z у х Рис. 35

Пусть точка принадлежит плоскости , вектор перпендикулярен плоскости (рис. 33). Тогда для любой точки плоскости , векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение , или

. (3.38)

Уравнение (4.1) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .

Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение (3.38) является уравнением первой степени относительно текущих координат x, y, z.

Если числа принимают различные значения, то уравнение (3.38) будет задавать разные плоскости, проходящие через точку .

Совокупность плоскостей, проходящих через точку , называется связкой плоскостей, а уравнение (3.38) – уравнением связки плоскостей.

Общее уравнение плоскости. Пусть плоскость в прямоугольных декартовых координатах задана уравнением (3.38). Приведем это уравнение к более простому виду. Раскроем скобки в правой части уравнения, заменим свободный член , тогда получим:

. (3.39)

Уравнение (3.39) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты в нем являются координатами нормального вектора плоскости .

Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости (3.39):

1. Если , , то плоскость параллельна оси

, нормальный вектор оси ; если еще , то плоскость проходит через ось .

2) Если , , то плоскость параллельна оси , нормальный вектор оси ; если еще , то плоскость проходит через ось .

3) Если , , то плоскость параллельна оси , нормальный вектор оси ; если еще , то плоскость проходит через ось .

4) Если , то плоскость проходит через начало координат.

5) Если , то плоскость параллельна плоскости и нормальный вектор ; если еще , то плоскость совпадает с плоскостью .

6) Если , то плоскость параллельна плоскости и нормальный вектор ; если еще , то плоскость совпадает с плоскостью .

7) Если , то плоскость параллельна плоскости и нормальный вектор ; если еще , то плоскость совпадает с плоскостью .

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость.

Составим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , , , не лежащие на одной прямой.

Рассмотрим на плоскости произвольную точку и составим векторы , и . Эти векторы лежат на одной плоскости, т.е. они компланарны. Следовательно, их смешанное произведение , или

. (3.40)

Уравнение (3.40) называется уравнением плоскости, проходящей через три данные точки

Пример 17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение. В формулу (3.40) подставим координаты точек, получим:

.

Вычислим определитель разложением по 1-й строке:

,

получим:

,

или .

Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость отсекает на осях и соответственно отрезки и , т.е. проходит через точки , . Подставляя координаты этих точек в уравнение (3.40), получим:

.

Вычислив определитель и упростив полученное выражение, приведем его к виду:

. (3.41)

Уравнение (3.41) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Числа а, b, c с точностью до знака равны отрезкам, отсекаемым плоскостью на осях координат.

Этим уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.

Пример 18. Привести общее уравнение плоскости к уравнению плоскости в отрезках на осях.

Решение. Преобразуем уравнение:

.

Таким образом, плоскость отсекает на осях и , соответственно, отрезки и .

Нормальное уравнение плоскости. Положение плоскости вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра , опущенного на плоскость из начала координат . Углы – это углы, которые образует вектор с осями и , соответственно. Если длина перпендикуляра , то уравнение плоскости можно записать в виде

. (3.42)

Уравнение (3.42) называется нормальным уравнением плоскости.

Общее уравнение плоскости можно привести к нормальному уравнению (3.42) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно, умножить обе части общего уравнения на нормирующий множитель

,

где знак берется противоположным знаку коэффициента .