Прямая на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой
Уравнение прямой через две точки
Уравнение прямой в отрезках
Уравнение прямой через данную точку ,
Параметрические уравнения прямой	,
Уравнение прямой через данную точку ,
Нормальное уравнение прямой
Угол между прямыми : , или , и : , или	, или

Условие параллельности двух прямых l1 и l2
Условие перпендикулярности двух прямых l1 и l2
Расстояние от точки до прямой

3. Кривые второго порядка на плоскости

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат:

, (3.28)

где A, B, C, D, E, F – произвольные действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля.

Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено, что уравнение (3.28) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

3.1. Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность.

y М М1 R М0 х О Рис. 29

Окружностью радиуса с центром в точке называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от центра , т.е. удовлетворяющих условию (рис. 29).

Пусть точка в прямоугольной системе координат имеет координаты , а – произвольная точка окружности. Тогда из условия получим уравнение:

. (3.29)

Уравнение (3.29) называется каноническим уравнением окружности с центром в точке радиуса .

В частности, если , , то получим уравнение окружности радиуса с центром в начале координат : .

3.2. Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

у

М d

r₁

r₂

х

О

F₁

F₂

x = -

x =

Рис. 30

Обозначим фокусы через и , расстояние между ними –через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2a. По определению 2а > 2c, то есть a > c.

Выберем систему координат так, чтобы фокусы и лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂ (рис. 30). Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .

Прямая, проходящая через фокусы называется первой или фокальной осью эллипса.

Середина отрезка F₁F₂ называется центром эллипса.

Прямая, проходящая через центр перпендикулярно первой оси, называется второй осью эллипса.

Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса.

Каноническое уравнение эллипса. Покажем, что уравнение эллипса имеет вид:

, (3.30)

где .

Действительно, пусть – произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, MF₁ + MF₂ = 2a, то есть:

Это и есть уравнение эллипса. Преобразуем данное уравнение к более простому виду (возводим обе части уравнения в квадрат):

Так как , то . Положим , тогда последнее уравнение примет вид или

Уравнение (3.30) называется каноническим уравнением эллипса.

Число называется большой полуосью, число называется малой полуосью эллипса, а > b.

Вершины эллипса имеют координаты:

, , , .

Эксцентриситет эллипса – это число, равное отношению расстояния между фокусами к длине большой оси:

.

Эксцентриситет определяет форму (вытянутость) эллипса. Чем меньше значение эксцентриситета, тем эллипс имеет более округлую форму. При = 0 эллипс превращается в окружность.