Свойства эллипса:

1. Оси эллипса являются его осями симметрии.

2. Центр эллипса является его центром симметрии.

3. Эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого задаются уравнениями х = а, у = b.

4. Эксцентриситет эллипса , т.к. 0 c < a.

Если центр эллипса находится в точке , а оси эллипса параллельны осям координат, то уравнение эллипса примет вид:

(3.31)

Если , то уравнение (3.30) определяет эллипс, большая полуось которого лежит на оси , а малая полуось – на оси . Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где , а эксцентриситет .

Пусть – произвольная точка эллипса с фокусами и . Длины отрезков , называются фокальными радиусами точки М (рис. 30). Имеют место формулы:

, , .

Прямые называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса подтверждается следующей теоремой, которую несложно доказать.

Теорема. Если – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, т.е. .

3.3. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов – через 2a. По определению 2а < 2c, т.е. a < c.

у

М

х

F₁

F₂

А₂

А₁

Рис. 31

Выберем систему координат Oxy так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали на оси Ox, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂ (рис. 31). Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и .

Каноническое уравнение гиперболы. Пусть – произвольная точка гиперболы. Тогда, согласно определению гиперболы, или ,

После упрощений аналогичных тем, которые были сделаны при выводе уравнения эллипса, получим:

, (3.32)

где .

Уравнение (3.32) называется каноническим уравнением гиперболы.

Прямая, проходящая через фокусы называется действительной осью гиперболы.

Середина отрезка F₁F₂ называется центром гиперболы.

Прямая, проходящая через центр перпендикулярно действительной оси, называется мнимой осью гиперболы.

Точки пересечения гиперболы с действительной осью называются вершинами гиперболы.

Вершины гиперболы имеют координаты: , .

П

у

рямоугольник со сторонами , называется основным прямоугольником гиперболы. Его диагонали имеют уравнение и являются асимптотами гиперболы (рис. 32).

(0; b)

А₁(а; 0)

А₂(-а; 0)

х

F₁

F₂

О

(0; - b)

Рис. 32

Эксцентриситет гиперболы – это число, равное отношению расстояния между фокусами к длине действительной оси:

.

Эксцентриситет определяет форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Свойства гиперболы:

1. Оси гиперболы являются его осями симметрии.

2. Центр гиперболы является его центром симметрии.

3. Эксцентриситет гиперболы > 1, т.к. c > a.

Если центр гиперболы находится в точке , а оси гиперболы параллельны осям координат (причем действительная ось параллельна оси ), то уравнение гиперболы примет вид:

(3.33)

Если направить действительную ось по оси Оу, а мнимую – по оси , то уравнение гиперболы примет вид:

Если полуоси равны (a = b), то гипербола называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен .

Прямые называются директрисами гиперболы.

Для гиперболы , то < a. Это означает, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая – между центром и левой вершиной гиперболы.

Длины отрезков и называются фокальными радиусами точки . Фокальные радиусы для точек правой ветви , , а для левой – , .

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса.

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки гиперболы до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы, т.е.

.