Откуда уравнение искомой плоскости: .

Таблица 6

Прямая и плоскость в пространстве

Прямая : , (1) – направляющий вектор прямой	Плоскость : , (2) – нормальный вектор плоскости
Угол между прямой l и плоскостью
Условие параллельности прямой и плоскости
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
Точка пересечения прямой l и плоскости	Подставить параметрические уравнения : (3) в уравнение плоскости (2), найти . Подставить найденное в (3)
Условие принадлежности прямой плоскости

7. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называют геометрическое место точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

, (3.61)

где, по крайней мере, один из первых шести коэффициентов не равен нулю.

Теорема. Любая плоскость пересекает поверхность 2-го порядка по кривой 2-го порядка.

□ Пусть поверхность 2-го порядка пересекается плоскостью

z = 0. (3.62)

Тогда, решая совместно уравнения (3.61) и (36.2), получим:

,

а это есть общее уравнение кривой 2-го порядка. ■

Замечание. Уравнение (3.61) инвариантно относительно выбора системы координат, т.е. уравнение поверхности в любой другой системе координат также имеет вид (3.61). Поэтому в качестве секущей плоскости можно выбрать любую.

Теорема. Существует такая система прямоугольных декартовых координат, в которой уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид:

, (3.63)

где, по крайней мере, один из первых трех коэффициентов не равен нулю.

Классификацию поверхностей приведем в таблице 7.

Таблица 7

Классификация поверхностей 2-го порядка

№ п/п	Название поверхности	Каноническое уравнение	Схематическое и z зображение
1	Эллипсоид		y х
2	Гиперболоид однополостный		z y х
3	Гиперболоид двуполостный		z х y
4	Конус		z y х
5	Параболоид эллиптический		z х y
6	Параболоид гиперболический		z y х
7	Цилиндр эллиптический		z х y z
8	Цилиндр гиперболический		х y
9	Цилиндр параболический		z х y z
10	Пара пересекающихся плоскостей		х y

11	Пара параллельных плоскостей		z х y
12	Пара совпадающих плоскостей		z х y
13	Мнимый конус
14	Пара мнимых пересекающихся плоскостей
15	Мнимый эллипсоид
16	Мнимый цилиндр эллиптический
17	Пара мнимых параллельных плоскостей