II. Второй вопрос задачи

Для ответа на второй вопрос требуется определить случаи, которые соответст­вуют поставленным условиям, рассчитать их вероятности по формуле Бернулли и полученные результаты сложить. Требование "хотя бы один" означает, что наблю­дателя устраивают все результаты в серии опытов, кроме того, когда ничего не произошло. Таким образом, окончательный ответ можно получить как следующую сумму:

P(A) = P_1,n + P_2,n + P_3,n +…+ P_n,n .

Ответ на этот вопрос может быть получен, если определены случаи, которые не соответствуют поставленным условиям и рассчитаны их вероятности. Требование "хотя бы один" означает, что наблюдателя не устраивает результат, когда ничего не произошло. В этом случае окончательный ответ можно получить из следующего соотношения:

P(A) = 1 – P_0,n .

Любопытные могут убедиться, что результаты расчета по обеим формулам бу­дут одинаковыми и что для любой серии опытов и любых вероятностей P_0,n + P_1,n + P_2,n + … + P_n,n = 1, что и позволяет использовать выше приведенную формулу.

Пример 15. Производится залп из 6 орудий по некоторой цели. Вероятность поражения цели каждым орудием при одном выстреле равна 0,7. Найти вероят­ность хотя бы одного попадания.

Решение.

Поскольку наблюдателя не устраивает случай, когда все орудия не попадут в цель, то искомая вероятность может быть определена из следующего соотношения:

Р(А)=1- P_0,6 = =

1 - 1·1·0,000729=0,999271.

III. Третий вопрос задачи

Для ответа на этот вопрос, как и на предыдущий, требуется определить случаи, которые соответствуют поставленным условиям, рассчитать их вероятности по формуле Бернулли и полученные результаты сложить. Требование "не менее m раз" означает, что наблюдателя устраивают те результаты в серии опытов, когда интересующее событие появляется m или большее количество раз. Таким образом, окончательный ответ можно получить как следующую сумму:

P(A) = P(x ≥ m) = P_m,n + P_m+1,n + P_m+2,n +…+ P_n,n .

Пример 16. Производится залп из 6 орудий по некоторой цели. Вероятность поражения цели каждым орудием при одном выстреле равна 0,7. Найти вероят­ность не менее 5-ти попаданий в цель.

Решение.

Поскольку наблюдателя устраивают случаи, когда в цель будет совершено пять или шесть попаданий, то искомая вероятность может быть определена из следую­щего соотношения:

Р(А) = P(x ≥ 5) = P_5,6 + P_6,6 .

После расчетов по формуле Бернулли и сложения промежуточных результа­тов окончательно получаем:

Р(А) = P(x ≥ 5) = = =0,42.

IV. Четвертый вопрос задачи

В случае, когда производится серия опытов и в каждом отдельном опыте инте­ресующее наблюдателя событие может появиться или не появиться, вполне зако­номерен вопрос о том, на какое количество появлений события должен ориентиро­ваться наблюдатель. Какое из возможных значений 0, 1, 2, …, n следует признать наиболее ожидаемым? Ответ на этот вопрос может быть получен после расчета ве­роятностей для всех перечисленных значений и выбора из них наибольшего. Дру­гой способ заключается в использовании специального соотношения, которое по­зволяет определять наивероятнейшее число m₀ появлений интересующего наблю­дателя события без определения вероятности этого случая:

n · p - q ≤ m₀ ≤ n · p + p.

После расчета левой и правой части двойного неравенства следует выбрать целое число, которое будет не меньше, чем левая часть и не больше, чем правая.

Пример 17. Производится залп из 6 орудий по некоторому объекту. Вероят­ность поражения объекта каждым орудием при одном выстреле равна 0,7. Опреде­лить наивероятнейшее число попаданий и его вероятность.

Решение.

Из условий задачи выделяем n=6, p=0,7; q=1-0,7=0,3.

Наивероятнейшее число попаданий определяется из двойного неравенства , т.е. искомое число должно быть больше 3,9 и меньше 4,9. Таким образом, наивероятнейшее число попаданий равно четырем.

Для ответа на вторую часть этого вопроса воспользуемся формулой Бернулли при n=6, m=4, p=0,7; q=1-0,7=0,3.

Р (m₀=4) == 0,324135.