1.1.2. Определение затрат энергии на нагрев и плавление металлов

Пример 1. Требуется определить затраты электроэнергии, необходимые для плавки 100 т стали в дуговой электропечи. КПД дуговой электропечи =0,7. Удельная объемная теплоемкость стали C_V=5 МДж/(м³К). Удельная теплота плавления стали L=270 кДж/кг.

Определим количество энергии, требующейся для расплавления шихты и нагрева расплава до температуры заливки _з= 1600 С.

Для нагрева 1 кг стали до температуры заливки потребуется количество тепла:

. (1.6)

Для расплавления 1 кг стали потребуется

. (1.7)

Итого 1,86 МДж, или (1,86/3,6  0,5).

При стоимости 1,13 руб за 1 затраты на нагрев и плавление 1 кг стального литья составят около 0,57 руб./кг, то есть примерно около 12% стоимости самого металла.

В частности, для плавки 100 т стали потребуется около 50 000 электроэнергии, а ее стоимость составит около 56 500 руб.

Пример 2. При работе домны в сутки сжигается 6600 тонн кокса и выплавляется 11 000 тонн чугуна. Теплота сгорания кокса L=29 МДж/кг. Удельная объемная теплоемкость чугуна C_V= 3,5 МДж/м³K, плотность 7,1 10³кг/м³. Удельная теплота плавления L_пл= 0,27 МДж/кг. Максимальная температура нагрева расплава чугуна – 2000 С. Определить количество образующегося при сжигании топлива тепла, а также количество тепла, расходуемого на нагрев и плавление чугуна.

Определим количество тепла выделяемого в сутки от сжигания 6600 тонн кокса:

(1.8)

Для нагрева до максимальной температуры 2000 С и плавления 1 кг чугуна при теплоемкости C_V= 3,5 МДж/м³K и удельной теплоте плавления L_пл= 0,27 МДж/кг требуется:

а на программу выпуска 11 000 т чугуна в сутки:

(1.9)

т. е. непосредственно на нагрев и плавление чугуна расходуется только около 7,4 % от теплоты, выделившейся при сжигании топлива.

1.1.3. Уравнение теплопроводности. Фундаментальное решение

При передаче тепла теплопроводностью количество тепла, поступившее в рассматриваемый элементарный объем за единицу времени (или отведенное из этого объема) изменяет теплосодержание этого объема ровно на эту величину (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Схема к выводу уравнения теплопроводности

для одномерного нестационарного температурного поля

Изменение теплосодержания Q, вызванное изменением T температуры T(x,) за время  в выделенном элементе стержня длиной и площадью поперечного сечения, равной единице, равно

(1.10)

Количество тепла, поступившего за это время через единичную площадь поверхности, может быть определено также через приращение плотности теплового потока q_x:

(1.11)

Приравнивая выражения (1.10) и (1.11) с учетом основного закона теплопроводности получим:

или (1.12)

Решение уравнения теплопроводности (1.12) для мгновенного точечного (плоского) источника предложено Томсоном–Кельвином и имеет вид [3]

. (1.13)

Рис. 1.2. Распределения температуры в моменты времени ₁ и ₂ от точечного источника тепла, вспыхнувшего в точке x= при 0

Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция (1.13) удовлетворяет уравнению теплопроводности (1.12) и, кроме того, граничным условиям, которые могут быть записаны в виде:

(1.14)

Из формулы (1.13) также следует, что функция G(x, ,) имеет максимум в точке x= и что количество тепла Q в любой момент времени остается неизменным и равным C_VВ, а также, что величина В представляет собой площадь, ограниченную функцией T(x,) и осью x.