Приклади розв`язків типових задач

Задача 3. Визначити максимальну швидкість υ_max фотоелектронів, що вилітають з поверхні срібла під дією:

1) ультрафіолетового випромінювання, довжина хвилі якого λ₁ = 155 нм; 2) γ – випромінювання з довжиною хвилі λ₂ = 2,47 нм.

Розв’язання. Максимальну швидкість фотоелектронів визначаємо з рівняння Ейнштейна для фотоефекту (2.3):

ε = А + Т_max. Енергію фотона визначаємо за формулою ε = hc/λ, роботу виходу А беремо з таблиць; для срібла А = 4,7 еВ.

Кінетична енергія фотоелектрона в залежності від того, яку він має швидкість, може бути виражена або за класичною формулою

Т = m₀υ²/2 , або за релятивістською формулою Т = (m – m₀)c².

Швидкість фотоелектрона залежить від енергії фотона, який викликає фотоефект: якщо енергія фотона ε набагато менша від енергії спокою електрона m₀c², то може бути застосована класична формула, якщо ε можна порівняти із величиною енергії спокою електрона, то в цьому випадку кінетичну енергію треба визначати за релятивістською формулою.

1. У формулу енергії фотона ε = hc/λ підставимо значення величин h, c, λ та, виконавши розрахунок, для ультрафіолетового випромінювання отримаємо ε₁ = 1,28 ∙10^-18 Дж = 8 еВ.

Це значення енергії фотона набагато менше енергії спокою електрона (0,51 МеВ). Тому для даного випадку максимальна кінетична енергія фотоелектрона може бути виражена за класичною формулою, а саме:

ε₁ = А + m₀υ²_max/2, звідки υ_max = ( 2(ε₁ – A)/m₀ )^1/2. Підставивши числові значення А = 4,7 еВ = 0,75∙10^-18 Дж та

m₀ = 9,1∙10^-31 кг, розраховуємо максимальну швидкість: υ_max = 1,08∙10⁶м/с.

2. Енергія фотона γ-випромінювання дорівнює:

ε₂ = hc/λ₂ = 8,04∙10^-15 Дж = 0,502 МеВ.

Робота виходу електрона (А = 4,7 еВ) нехтовно мала порівняно із енергією γ-фотона, тому максимальна кінетична енергія електрона практично дорівнює енергії фотона: Т_max = ε₂ = 0,502 МеВ.

Оскільки в даному випадку кінетичну енергія електрона можна порівняти із його енергією спокою, то для визначення швидкості електрона треба взяти релятивістську формулу для кінетичної енергії:

Т_max = m₀c²(1/(1-υ²_max/c²)^1/2 – 1)

Виконавши перетворення, визначаємо максимальну швидкість фотоелектронів: υ_max = 226∙10⁶м/с.

Задача 4. Визначити червону межу фотоефекту для натрію, якщо при опромінюванні його поверхні фіолетовим світлом з довжиною хвилі λ = 400 нм максимальна швидкість υ_max фотоелектронів дорівнює 0,65∙10⁶ м/с.

Розв’язання. При опромінюванні світлом, довжина хвилі якого λ₀ відповідає червоній межі фотоефекту, швидкість фотоелектронів дорівнює нулю, а відповідно і кінетична енергія дорівнює нулю. Тому рівняння Ейнштейна для фотоефекту в цьому випадку має вигляд:

ε = А або hc / λ₀ = A, звідки λ₀ = hc /A. (1)

Роботу виходу визначаємо за допомогою рівняння Ейнштейна:

А = ε - m₀υ²_max/2 = hc/λ - m₀υ²_max/2.

Виконуючи числові розрахунки, маємо значення роботи виходу для натрію А = 3,68∙10^-19 Дж. Для визначення червоної межі фотоефекту величини А, h, c підставляємо у формулу (1). В результаті розрахунків, маємо таке значення червоної межі фотоефекту для натрію: λ₀ = 540 нм.

Задачі для самостійного розв’язування

2.1. Визначити найбільшу довжину хвилі випромінювання λ₀, при якій має місце фотоефект у цезії, натрії, платині та цинку, а також максимальні швидкості υ_max фотоелектронів, випущених з поверхонь цих металів під дією випромінювання, довжина хвилі якого λ = 190 нм. Які з цих матеріалів можна використати у фотоелементах для видимої частини спектра?

2.2. Визначити максимальну кінетичну енергію електрона, випущеного молібденовою пластинкою під дією випромінювання, довжина хвилі якого λ = 100 нм. Порівняти цю енергію із середньою енергією теплового руху ‹Е› електронів при температурі Т = 300 К.

2.3. У разі опромінювання металу γ-квантами з нього вилітають фотоелектрони з максимальною швидкістю υ_max = 290 Мм/c. Визначити енергію ε квантів, їх імпульс р та масу m.

2.4. Визначити максимальну швидкість υ_max фотоелектронів, які вилетіли з металу під дією: а) γ-випромінювання, довжина хвилі якого λ = 0,3 нм;б) випромінювання, енергія квантів якого ε = 1,53 Мев.

2.5. Послідовно з вакуумним фотоелементом включено резистор з опором R = 1 кОм. На катод фотоелемента падає випромінювання, потужність якого Р = 1Вт і частота ω = 1∙10¹⁶ с^-1. Вважаючи, що вихід фотоефекту (відношення кількості електронів, що вилетіли з металу, до кількості фотонів, які падають на метал) η = 0.25, визначити кількість теплоти Q, що виділяється за t = 2 хв у резисторі.

2.6. На вольфрамову пластинку падає моноенергетичний пучок фотонів, довжина хвилі яких λ = 270 нм. Визначити імпульс Δр, який передається пластинці при поглинанні фотона з пучка, якщо при цьому пластинка випускає електрон під прямим кутом до напряму руху фотона. Вважати, що швидкість електрона становить 0,5 від максимальної.

2.7. На металеву пластинку, що приєднана до електрометра, падає рентгенівське випромінювання, довжина хвилі якого λ = 20 нм. До якого потенціалу φ зарядиться пластинка?

2.8. Електрони, які випускаються металом під дією випромінювання, довжина хвилі якого λ₁ = 136 нм, затримуються напругою U₁ = 6,6 В, а ті що випускаються під дією випромінювання, довжина хвилі якого λ₂ = 65,2 нм, - напругою U₂ = 16,5 B. Визначити за цими даними сталу Планка h та роботу виходу А для цього металу.

2.9. До якого потенціалу φ можна зарядити віддалену від інших тіл цинкову кульку, якщо опромінювати її ультрафіолетовим випромінюванням з довжиною хвилі λ = 200 нм?

2.10. Червоній межі фотоефекту для алюмінію відповідає довжина хвилі λ₀ = 332 нм. Знайти: а) роботу виходу електрона А для цього металу; б) довжину світлової хвилі λ, при якій запірна напруга U= 1B.