4. Ефект комптона

Квантові властивості світла проявляються в явищі, яке в 1923 р. виявив А. Комптон, спостерігаючи розсіювання монохроматичних рентгенівських променів легкими речовинами (графіт, парафін тощо). Рентгенівські промені – це електромагнітні хвилі з меншою ніж у ультрафіолетових променів довжиною, а саме порядку 0,01∙10^-10  800∙10^-10 м.

Ефектом Комптона називається зміна частоти або довжини хвилі фотонів при їх розсіюванні електронами. Ефект Комптона істотний, якщо енергія рентгенівських фотонів і гамма-фотонів значно більша за енергію зв`язку електронів у атомах, тому при теоретичних розрахунках можна вважати електрони вільними.

Досліди Комптона показали, що довжина хвилі λ розсіюваного випромінювання більша за довжину хвилі λ₀ падаючого випромінювання на Δλ, причому Δλ = λ – λ₀ не залежить від значення λ₀. Величина Δλ залежить від кута φ між напрямом падаючих і розсіюваних рентгенівських променів, а саме Δλ ~ sin²(φ/2). Крім того, досліди показали, що комптонівське розсіювання значуще для речовин з малою атомною масою і слабке для речовин з більшою атомною масою.

Всі особливості ефекту Комптона можна пояснити, розглядаючи це явище з квантової точки зору. Будемо розглядати взаємодію фотона з електроном як абсолютно пружний удар. Припустимо, що квант рентгенівського випромінювання з енергією ε₀ = hν₀ падає на вільний електрон (рис. 5), який перебуває в спокої, а після зіткнення рухається зі швидкістю υ.

Рис. 5

Застосовуючи до ефекту Комптона закони збереження енергії та імпульсу, дістанемо зміну довжини хвилі

Δλ = h (1-cosφ)/m₀c = 2h sin²(φ/2)/m₀c (4.1)

Величина Λ = h/m₀c називається комптонівською довжиною хвилі електрона і дорівнює 2,426∙10^-12 м. При розсіюванні фотонів на електронах, які мають сильний зв`язок у атомі, обмін енергією та імпульсом із атомом відбувається як із цілим. Оскільки маса атому набагато більша за масу електрона, комптонівське зміщення в цьому випадку дуже мале і λ практично збігається з λ₀.

Зі збільшенням атомного номера зростає відносна кількість електронів із сильним зв`язком, що і обумовлює слабо виражений ефект Комптона для важких атомів. Розсіюючий електрон, який отримав швидкість внаслідок зіткнення з фотоном, називається електроном віддачі.

Експериментальне вивчення розподілу електронів віддачі по енергіям було проведено Д.В.Скобельциним, який застосував для цього в магнітному полі камеру Вілсона. Кінетична енергія електрона віддачі максимальна при φ =180⁰ і дорівнює:

Е_К = hν₀E₀ /(2hν₀ + E₀),

де E₀ =m₀c² – енергія електрона, що перебуває в спокої, hν₀ – енергія падаючого фотона.

Збіг експериментальних і теоретичних даних, які пояснюють ефект Комптона, є переконливим доказом виконання законів збереження енергії та імпульсу для окремих елементарних процесів.

Контрольні запитання

1. В чому виявляється ефект Комптона?

2. Чому дорівнює комптонівська довжина хвилі мікрочасточки?

3. Як квантова теорія пояснює ефект Комптона?

Приклади розв`язків типових задач

Задача 7. Фотон з енергією ε = 0,75 МеВ розсіюється на вільному електроні під кутом φ = 60⁰. Вважаючи, що кінетична енергія та імпульс електрона до вдаємодії з фотоном були нехтовно малими, визначити:

1) енергію ε΄ фотона, що розсіюється, 2) кінетичну енергію електрона віддачі; 3) напрямок руху електрона.

Розв`язання. 1. Енергію фотона, що розсіюється, визначаємо з формули Комптона:

λ – λ₀ = h (1-cosφ)/m₀c .

Виражаємо довжини хвиль λ і λ₀ через енергії відповідних фотонів, тоді отримаємо:

hc/ε΄ - hc/ε = h(1-cosφ)/m₀c.

Поділимо обидві частини цього рівняння на hc, тоді:

1/ε΄ - 1/ε = (1-cosφ)/m₀c².

З останнього рівняння визначаємо енергію ε΄

ε΄ = ε / [(ε/m₀c²)(1-cosφ) + 1] . (1)

Виконавши числові розрахунки, отримаємо:

ε΄ = 0,43 МеВ.

2. Кінетична енергія електрона віддачі, як це випливає із закону збереження енергії, дорівнює різниці між енергією ε фотона, що падає, і енергією ε΄ фотона, який розсіюється:

Е_К = ε - ε΄ = 0,32 МеВ.

3. Напрямок руху електрона віддачі визначаємо з закону збереження імпульсу, згідно якого імпульс р фотона, що падає, дорівнює векторній сумі імпульсу m₀υ електрона віддачі та імпульсу р΄ фотона, який розсіюється, :

p = p΄ + m₀υ.

Векторна діаграма імпульсів зображена на рис. 6.

Рис. 6

Всі вектори на рис.6 проведені з точки О, де знаходився електрон у момент взаємодії з фотоном. Кут θ визначає напрямок руху електрона віддачі.

Із трикутника ОСD визначаємо:

tg θ = СD/ОD = CA∙sin φ/(OA – CA∙cos φ),

tg θ = p΄ sin φ/(p - p΄∙cos φ).

Оскільки р = ε /c p΄= ε΄/c

tg θ = ε΄∙ sin φ/(ε - ε΄cosφ). (2)

Перетворюємо формулу (2) так, щоб кут θ був виражений через величини φ і ε, які задані в умові задачі. З формули (1) маємо:

ε/ε΄ = [ε/E₀(1-cos φ)] + 1. (3)

Виділивши у формулі (2) відношення ε/ε΄ та замінивши його по формулі (3), отримаємо:

tg θ = sin θ/[(1+ε/E₀)∙(1-cos θ)].

Враховуючи, що sin θ = 2 sin(θ/2)∙cos(θ/2) і (1-соs θ) = 2 sin²(θ/2), після відповідних перетворень отримаємо:

tg θ = ctg(θ/2)/(1+ε/E₀).

Після числових розрахунків маємо tg θ = 0,701; звідки θ = 35⁰.

Відповідь: ε΄ = 0,43 МеВ, Е_к = 0,32 МеВ, θ = 35⁰.

Задачі для самостійного розв’язування

4.1. Фотон, довжина хвилі якого λ = 700 нм, розсіюється під кутом θ = π/2 на вільному електроні, що покоїться. Визначити: а) яку частину початкової енергії втрачає при цьому фотон; б) яку швидкість υ отримує при цьому електрон.

4.2. Обчислити комптонівське зміщення довжини хвилі Δλ та кут розсіяння θ фотона, початкова довжина хвилі якого λ = 3 пм, а швидкість електрона віддачі υ = 0,6 с. До розсіяння електрон перебував у стані спокою.

4.3. Визначити кінетичну енергію Е_К , яку отримує вільна часточка маси m, що перебуває в стані спокою, при розсіяння на ній під кутом θ фотона з енергією ε.

4.4. Гама – квант з енергією ε = 1,0 МеВ розсіюється під кутом θ = 90⁰ на вільному протоні, що покоїться. Визначити: а) яку кінетичну енергію Е_К надає гама - квант протону; б) з якою швидкістю υ буде рухатися протон після “зіткнення”.

4.5. Рентгенівське випромінювання , довжина хвилі якого λ = 5 пм, падає на речовину. Визначити довжини хвиль λ´₁, λ´₂ квантів, розсіяних у цій речовині вільними електронами під кутами θ₁ = 90⁰, θ₂ = 180⁰, а також кінетичну енергію Е_К1, Е_К2, повну енергію Е_1, Е₂ та імпульс р₁, р₂ електрона віддачі.

4.6. Встановити залежність кута розсіяння фотона θ від кута φ між напрямом руху електрона віддачі і напрямом руху падаючого фотона.

4.7. Порівняти найбільші комптонівські зміни Δλ_max довжини хвилі при розсіянні фотонів на вільних електронах та протонах.

4.8. Визначити імпульс р, який отримав електрон при ефекті Комптона, якщо фотон з енергією, що дорівнює енергії спокою електрона, розсіявся на кут θ = 180⁰.

4.9. Яку частину енергії фотона при ефекті Комптона отримує електрон, на якому розсіюється фотон під кутом θ = 180⁰? Енергія ε фотона до розсіяння дорівнює 0,255 МеВ.

4.10. Фотон, довжина хвилі якого λ = 1 пм, розсіюється на вільному електроні під кутом θ = 90⁰. Яку частину своєї енергії фотон передає електрону?