3.Задача о нахождении работы переменной силы

Пусть по оси ох из точки a в точку b под действием заданной переменной силы движется материальная точка (точка приложения силы ) - см. рис. 3. Требуется вывести формулу для работы А, которую совершит сила F(x) при перемещении материальной точки х из положения а в положение b.

Решение. Если бы сила , приложенная к движущейся точке , была постоянной, то мы нашли бы работу по известной школьной формуле . Но у нас сила переменная - она меняется с изменением координаты движущейся точки. В связи с этим разобьем мысленно промежуток [а; b] на бесконечно малые участки длиной и найдем работу силы на каждом участке (рис. 4).

Если – некоторая точка на участке , то очевидно, что

(9)

Мы записали эту формулу, считая, что в любой точке, находящейся на данном участке , сила, действующая на движущуюся точку, такая же, как и в выбранной точке , то есть постоянная. Но это, вообще говоря, не так: во время прохода точкой участка действующая на нее сила, хоть и незначительно, но меняется. Впрочем, изменение этой силы на тем меньше, чем меньше . А значит, с уменьшением формула (9) будет становиться все точнее и точнее. Но так как наш участок не просто мал, а бесконечно мал, то формулу (9) мы вправе считать точной.

А теперь, складывая работы силы на всех участках , на которые мы разбили отрезок [а; b], мы получим, причем точно, всю искомую работу А:

(10)

А так как, по аналогии с равенствами (2) и (7),

, (11)

то получим окончательно:

(12)

Это и есть формула для работы А, которую совершит переменная сила , если её точка приложения переместится вдоль оси ох из положения в положение (рис. 3).

4.Задача о нахождении объема производства при заданной производительности труда

Пусть функция описывает изменение производительности труда рабочего, бригады или целого предприятия с течением времени . Требуется найти формулу для объема произведенной продукции с момента времени до момента времени , где и - заданные числа.

Решение. Если бы производительность труда (количество продукции, производимой в единицу времени) была постоянной, то искомый объем произведенной продукции мы нашли бы, умножив производительность труда на время работы, то есть нашли бы по формуле. Но, по условию, производительность труда меняется со временем. Чтобы в этом случае найти искомый объем произведенной продукции, нужно, очевидно, разбить промежуток времени на бесконечно малые промежутки времени , выбрать внутри каждого произвольную точку , найти объем произведенной за время продукции, и сложить все - то есть по существу проделать ту же процедуру, что была проделана в предыдущих трех задачах. В итоге получим формулу

, (13)

совершенно аналогичную формулам (4), (8) и (12). Эта формула выражает объем продукции, произведенной за время от до , через производительность труда .

Итак, мы получим итоговые формулы (4), (8), (12) и (13) для четырех рассмотренных выше и имеющих важное практическое значение задач. Можно было бы и продолжить рассмотрение аналогичных задач, но мы ограничимся теми, что уже рассмотрели. Вместо этого осмыслим ту общую идею, которая была заложена при решении всех этих задач. А эта идея следующая: нужную нам величину мы мысленно разбиваем на бесконечно малые части, а затем, складывая все эти части (их бесконечно много!), получаем искомую величину. Эта величина оказывалась выраженной через новое математическое понятие - определенный интеграл. Теперь, очевидно, нужно понять, какими свойствами обладают определенные интегралы и как их вычислять.