7. Ряды динамики. Анализ интенсивности и тенденций развития

Динамический ряд — это расположенные в хронологической последовательности значения определенного статистического показателя. Составляющими динамического ряда являются признак времени t (момент или интервал) и числовые значения показателя — уровни у_t. В зависимости от типа показателей по признаку времени выделяют моментные и интервальные ряды динамики. В моментных рядах уровни фиксируют состояние явления на определенные моменты времени, в интервальных — агрегированный результат за определенный промежуток времени. Примеры указанных рядов динамики приведены в табл. 7.1: поквартальные объемы экспорта товаров образуют интервальный ряд, суммы резервов иностранной валюты на конец квартала — моментный.

Таблица 7.1

Год, квартал	Объем экспорта товаров в ценах ФОБ, млрд дол. США	Сумма резервов иностранной валюты на конец квартала, млрд дол. США
1998 IV	—	4,7
1999 I	2,8	6,3
II	3,5	14,1
III	3,9	9,9
IV	4,2	9,1

Уровни рядов динамики изменяются, варьируют. Обобщающей их характеристикой является средний уровень, который для интервального ряда рассчитывается по формуле средней арифметической простой, а для моментного — по формуле средней хронологической. По данным табл. 7.1 среднеквартальный объем экспорта товаров составляет

а среднеквартальный резерв иностранной валюты

При изучении особенностей развития социально-экономических явлений используют абсолютные и относительные характеристики динамики: абсолютный прирост и абсолютное значение 1% прироста; темп роста (индекс) и темп прироста. Расчет их основывается на сравнении уровней динамического ряда. Если база сравнения постоянная, характеристики динамики называют базисными, если база сравнения переменная — цепными.

Абсолютный прирост (снижение) _t — это разность уровней динамического ряда:

цепные _t = y_t – у_t-1,

базисные _t = y_t – у₀.

Очевидно, что сумма цепных абсолютных приростов равна конечному базисному:

Темп роста k^ рассчитывается как отношение уровней ряда и может быть выражен с помощью коэффициентов или в процентах:

цепные

базисные

Произведение цепных k_t равно конечному базисному:

Темп прироста Т_t показывает, на сколько процентов уровень у_t больше (меньше) уровня, принятого за базу сравнения. Его можно определить либо через отношение абсолютного прироста к базе сравнения, либо непосредственно на основе темпа роста. Так, для цепных характеристик:

Аналогично взаимосвязаны и базисные характеристики динамики.

Абсолютное значение 1% прироста рассчитывается как соотношение абсолютного прироста и темпа прироста. Алгебраически это соотношение равно 0,01 уровня, принятого за базу сравнения:

Для базисных темпов прироста значения А% одинаковы. Порядок расчета характеристик динамики рассмотрим на примере изменения объема экспорта товаров (табл. 7.2).

За II—IV кварталы экспорт товаров увеличился на 1,4 млрд дол. США, или на 50% по сравнению с I кварталом. Поквартальные абсолютные приросты и темп прироста снижались, однако абсолютное значение 1% прироста увеличивалось.

Таблица 7.2

Квартал	Объем экспорта, млрд дол. США	Абсолютный прирост, млрд дол. США		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолютное значение 1% прироста, млн дол. США
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
I	2,8	—	—	—	100	—	—	—
II	3,5	0,7	0,7	125	125	25	25	28
III	3,9	0,4	1,1	111	139	11	39	35
IV	4,2	0,3	1,4	108	150	8	50	39

Обобщающими характеристиками интенсивности динамики являются средний абсолютный прирост и средний темп роста . Средний абсолютный прирост рассчитывается как средняя арифметическая простая из цепных абсолютных приростов:

где n — число цепных абсолютных приростов.

Средний темп роста вычисляют по формуле средней геометрической:

где n — число цепных темпов роста.

По данным табл. 7.2 = 1,4 : 3 = 0,46 млрд дол. США, , т.е. объем экспорта товаров ежеквартально возрастал в среднем на 460 млн дол. США, или на 14,5%.

Если абсолютная или относительная скорость динамики в пределах изучаемого периода неодинакова, то ускорение (замедление) динамики измеряется путем сравнения одноименных характеристик за разные интервалы времени. Разность абсолютных цепных приростов ’ = _t - _t-1 характеризует абсолютное ускорение (+) или замедление (-) динамики. Для положительных абсолютных приростов можно определить относительное ускорение (_t / _t-1). Если интервалы времени неодинаковы, используют средние абсолютные приросты за соответствующие периоды.

На основе темпов роста (базисных или средних) проводят сравнительный анализ интенсивности динамики параллельных рядов, например грузооборота железнодорожного и автомобильного транспорта. Соотношение темпов роста различных объектов называют коэффициентом опережения.

Если ряды динамики взаимосвязаны, т. е. уровни их рассматриваются как фактор х и результат y, соотношение темпов прироста этих признаков позволяет определить, на сколько процентов изменяется у при изменении х на 1%. По содержанию соотношение темпов прироста является коэффициентом эластичности k_эл = Т_у / Т_х. Например, цены на товар выросли на 5%, а спрос уменьшился на 3%. Темпы прироста цен и снижения спроса составляют соответственно Т_у = -3%, Т_х = -5%. Следовательно, k_эл = -3/5 = -0,6, т.е. с увеличением цен на 1 % спрос уменьшается на 0,6%.

Предпосылкой анализа динамических рядов? является сопоставимость данных, которая обеспечивается на этапах их сбора и обработки. Однако возможна ситуация, когда изменения в методологии расчета показателя, структурные сдвиги, изменение цен и т.п. приводят к тому, что данные оказываются несопоставимыми. В таких случаях исполосуют специальные приемы смыкания прерывистых рядов — "статистические ключи". Например, дан прерывистый ряд:

Период	1	2	3
Уровень ряда:
до изменений	12	15	—
после изменений	—	18	22,5

Преодолеть прерывистость такого ряда можно двумя способами:

а) скорректировав одну из частей ряда на соотношение уровней во втором периоде, например: 12 • 18/15 = 12 • 1,2 = 14,4;

б) для каждой части ряда определить базисные темпы роста, приняв уровень 2-го периода за базу сравнения, т.е.

Тенденция — это основное направление развития. В рядах с четко выраженной тенденцией ее описывают аналитически с помощью определенной функции:

Y_t = f(t),

где t = 0, 1, 2, ..., n — переменная времени; Y_t — теоретические уровни ряда.

Такую функцию называют уравнением тренда. Выбор функционального вида тренда зависит от характера динамики. Так, при относительно стабильных абсолютных приростах используют линейный тренд Y_t = а + bt, при стабильных темпах прироста — экспоненту Y_t = аb^t и т. д. Соответственно параметр b в линейной функции характеризует средний абсолютный прирост, в экспоненте — средний темп роста (прироста). Параметр а в обеих функциях — это теоретическое значение уровня при t = 0.

Рассчитываются параметры трендовых уравнений методом наименьших квадратов, при этом нелинейные функции приводятся к линейному виду (например, логарифмированием lg Y_t = lg а + t lg b). Система нормальных уравнений имеет вид

Если начало отсчета времени (t = 0) перенести в середину ряда, то t = 0, а следовательно,

Пример. Расчет линейного тренда показан в табл. 7.3 на примере экспорта сахара. По данным таблицы n = 5; y_t = 219; ty_t = 39; t² = 10.

Таблица 7.3

Год	Экспорт сахара, тыс. yt	t	tyt	Yt	yt – Yt	(yt – Yt)2
1995	37	-2	-74	36,0	-1,0	1,00
1996	39	-1	-39	39,9	-0,9	0,81
1997	43	0	0	43,8	-0,8	0,64
1998	48	1	48	47,7	0,3	0,09
1999	52	2	104	51,6	0,4	0,16
Итого	219	0	39	219	X	2,70

Параметры трендового уравнения составляют:

Следовательно, Y_t = 43,8 + 3,9t, т.е. средний уровень экспорта сахара составлял 43,8 тыс. т и ежегодно увеличивался в среднем на 3,9 тыс. т. При условии, что комплекс причин, формирующий тенденцию, в ближайшее время не изменится, можно продолжить тенденцию за пределы динамического ряда (экстраполировать тренд). Ожидаемый объем экспорта сахара в 2001 г. составит:

Y₂₀₀₁ = 43,8 + 3,9  3 = 55,5,

или

Y₂₀₀₁ = 51,6 + 3,9  1 = 55,5 тыс. т.

Это точечная оценка прогноза. Интервальная оценка прогноза, т.е. доверительные границы, рассчитываются с определенной вероятностью Y_t- ± ts_p, где s_p — ошибка прогноза; t — доверительное число для принятого уровня вероятности;  — период упреждения.

Ошибка прогноза s_p рассчитывается по формуле

— оценка остаточной дисперсии, m — число параметров функции.

По данным табл. 7.3 s²_e = 2,70 : (5 - 2) = 0,9, а следовательно, s_e = = 0,95.

Подкоренное выражение равно 2,1, а = 1,45. Критическое значение двустороннего t-критерия для а = 0,05 и числа степеней свободы (n - 2) = 5 – 2 = 3 составляет t_0,95(3) = 2,57 (прил. 2).

Таким образом, ts_p = 2,57 • 0,95 • 1,45 = 3,5, а доверительные границы прогнозного уровня составляют 55,5 ± 3,5.

Если в ряду динамики тенденция четко не проявляется, то прибегают к сглаживанию ряда. Сущность его состоит в укрупнении интервалов времени и замене уровней первичного ряда средними по интервалам. Интервалы величиной т можно сформировать двумя методами:

а) последовательно, например, при т = 3 уровни объединяются: 1—3, 4—6 и т. д. Рассчитанные средние называют ступенчатыми;

б) способом скольжения, когда первый уровень j-го интервала заменяется следующим уровнем за пределами интервала, например, 1—3, 2—4, 3—5 и т. д. Интервальные средние называют скользящими. Очевидно, что ряд скользящих средних короче первичного ряда на (m - 1).

Для оценки вариации уровней динамического ряда используют абсолютную меру — среднее квадратическое отклонение s_e и относительную — коэффициент вариации V_e = 100s_e/. По данным табл. 7.3 s_e = 0,95, V_e = 100 • 0,95 / 43,8 = 2,2%. Разность 100 - V_e используют для оценки устойчивости динамического ряда.

Разновидностью колебаний динамических рядов являются сезонные колебания, т.е. более или менее устойчивые колебания по месяцам или кварталам года. При изучении сезонных колебаний используют относительные величины — индексы сезонности I_c. Если тенденция отсутствует, I_c рассчитываются как отношения фактических уровней у_t к среднему , т. е. I_c = у_t/. При наличии тенденции базой сравнения служат теоретические уровни Y_t, т.е. I_c = y_t/Y_t

Таблица 7.4

Месяц	Зарегистрировано браков	Ic	Ic - 100	(Ic - 100)2
Январь	776	97	-3	9
Февраль	768	96	-4	16
Март	672	84	-16	256
Апрель	760	95	-5	25
Май	648	81	-19	361
Июнь	805	101	1	1
Июль	868	109	9	81
Август	890	111	11	121
Сентябрь	979	122	22	484
Октябрь	832	104	4	16
Ноябрь	819	102	2	4
Декабрь	763	98	-2	4
Итого	9600	100	X	1378

Пример. Анализ сезонной волны представлен в табл. 7.4 на примере количества зарегистрированных браков. Первичный ряд динамики не обнаруживает четкой тенденции, а поэтому индексы сезонности рассчитываются на основе постоянной средней.

Абсолютной мерой сезонных колебаний является амплитуда колебаний R = I_max – I_min. По данным табл. 7.4 R = 122 – 81 = 41. Для сравнения интенсивности сезонных колебаний используют также среднее линейное

или среднее квадратическое отклонение

По данным табл. 7.4 среднее квадратическое отклонение составляет пункта.

Для характеристики закономерностей колебаний в рядах динамики с меньшими интервалами времени (декада, пятидневка, сутки) рассчитывают коэффициенты неравномерности: k_н = y_max : или k_н = у_min : .