8. Индексы

Индекс — это относительная величина, характеризующая изменение явления во времени или в пространстве, а также степень отклонения значения показателя от стандарта.

Как относительная величина индекс выражается в форме коэффициента либо в процентах или промилле. Название индекса отражает его социально-экономическое содержание, а числовое значение — интенсивность изменения или степень отклонения. Например, региональный индекс преступности — 1,47, а отраслевой индекс производительности труда — 0,96.

Индексы выполняют две функции: синтетическую — используется как обобщающая характеристика изменения явления; аналитическую — служит для изучения влияния отдельных факторов на изменение явления. Большинство индексов выполняет обе функции одновременно.

В зависимости от цели сравнения выделяют: динамические индексы, характеризующие изменение явления во времени, территориальные, отражающие результат сопоставления явления в пространстве (по разным объектам, регионам), и межгрупповые индексы, характеризующие отклонения от стандарта (эталонного, минимального, максимального) или от среднего уровня. Например, индекс сверхсмертности мужчин по сравнению с женщинами.

В зависимости от вида индексируемой величины различают индексы абсолютных и средних величин. По степени агрегирования информации индексы делят на индивидуальные и сводные. Индивидуальные индексы i характеризуют соотношение уровней показателя для отдельных элементов совокупности или однородных групп, сводные индексы I — для определенного множества элементов. Основой построения сводных индексов является обобщение информации путем ее агрегирования (агрегатные индексы) или усреднения (средневзвешенные индексы). В структурированной совокупности индексы могут быть групповыми (субиндексами) или общими. Например, индексы динамики заболеваемости отдельными инфекционными заболеваниями являются субиндексами, а индекс динамики заболеваемости инфекционными заболеваниями в целом — общим индексом.

Показатель, сопоставляемый во времени или в пространстве, называют индексируемой величиной. В международной статистике используют следующую систему обозначений индексируемых величин: р — цена; q — физический объем, а именно количество товаров, продукции и т п.; с — себестоимость единицы продукции; t — трудоемкость работы или производства продукции.

В динамических индексах предыдущее значение величины, принимаемой за базу сравнения, обозначается подстрочным значком "0", а текущее, оценочное значение — "1". В территориальных индексах база сравнения произвольная.

Например, индивидуальный индекс динамики цен , а территориальный индекс количества проданных товаров

Предпосылкой расчета индивидуальных индексов является соизмеримость числителя и знаменателя. При агрегировании совокупности элементов, имеющих разные единицы измерения, их физические объемы q_i приводят к сопоставимому виду с помощью определенных соизмерителей. Используют соизмерители стоимостного характера (цена, себестоимость), тогда агрегатом будет q_ip_i; q_ic_i, или трудового (трудоемкость) — агрегат приобретает вид q_it_i.

В агрегированных данных индексироваться могут отдельно соизмерители р_i, с_i, t_i, отдельно "веса" q_i или агрегат в целом. Если индексируется соизмеритель, то веса фиксируют на неизменном уровне (базисном или текущем). Аналогичным образом фиксируется соизмеритель, если изменяются веса.

В статистике используют две равноправные индексные системы:

базисно-взвешенную текуще-взвешенную

(Ласпейреса) (Пааше)

индекс цен

индекс физического объема

Относительное изменение агрегата в целом p_iq_i оценивается сводным индексом стоимости товаров (товарооборота)

Учитывая мультипликативную связь между соизмерителем р_i и весами q_i указанные индексы увязываются в систему

I_pq = I_pI_q

Эта связь обеспечивается, если индексы-сомножители разновзвешенные, например, веса базисные, а соизмерители текущие:

Или, наоборот, веса текущие, а соизмерители базисные:

Взаимосвязаны также индексы прямых и обратных показателей. Например, индекс трудоемкости I_t и производительности труда или индекс потребительских цен I_p и покупательной способности денежной единицы .

Например, если потребительские цены на товары выросли на 7,5%, то покупательная способность денежной единицы снизилась на 7%:

I_1/p = 1 : 1,075 = 0,930.

В рамках системы взаимосвязанных индексов определяется роль отдельных факторов в относительном или абсолютном изменении агрегата.

Абсолютное изменение вычисляется как разность между числителем и знаменателем соответствующего индекса. Например, абсолютное изменение товарооборота в целом раскладывается на две составляющие:

за счет изменения цен

и за счет изменения физического объема товаров

Пример. Расчет сводных взаимосвязанных индексов рассмотрим на примере данных рынка автобензина в регионе:

Таблица 8.1

Марка бензина	Продано за период, тыс. л		Цена за 1 л в периоде, ден. ед.		Товарооборот, тыс. ден. ед.
	базисный q0	текущий q1	базисном p0	текущем p1	p0q0	p1q1	p0q1
А-76	150	95	0,46	0.48	69	45,6	43,7
А-92	120	110	0,55	0,58	66	63,8	60,5
А-95	70	125	0,60	0,66	42	82,5	75,0

Индекс товарооборота показывает, что стоимость проданного автобензина в целом по региону увеличилась на 8,4%.

Как свидетельствует индекс цен , цены на бензин трех марок выросли в среднем на 7,1%.

Индекс физического объема составлял

т.е. объем проданного автобензина увеличился в среднем на 1,2%.

Произведение взаимосвязанных индексов подтверждает результаты расчета: I_pq = 1,071 • 1,012 = 1,084.

Абсолютный прирост стоимости проданного автобензина в целом составляет: _pq = 191,9 - 177,0 = 14,9 тыс. ден. ед., в том числе за счет повышения цен _р = 191,9 - 179,2 = 12,7 тыс. ден. ед. за счет увеличения объемов продажи — _q = 179,2 - 177,0 = 2,2 тыс. ден. ед.

Сводные индексы также могут определяться как средние из соответствующих индивидуальных индексов. Условия применения средневзвешенных индексов: однонаправленность изменений во времени и сопоставимость круга элементов.

Средневзвешенный индекс — это средний из индивидуальных индексов, взвешенных на объемы, имеющие одинаковую размерность и зафиксированные на неизменном уровне.

Такими объемами являются, в частности, p_iq_i, c_iq_i, t_iq_i. Уровень, на котором фиксируются объемы, выбирается исходя из агрегатной формулы соответствующего индекса.

Средневзвешенный индекс цен, тождественный агрегатному индексу

определяется по формуле средней гармонической взвешенной

При этом условная стоимость p₀q₁ вычисляется через индивидуальный индекс цен , откуда , а

Средневзвешенный индекс физического объема вычисляют по формуле средней арифметической взвешенной

путем аналогичных преобразований условного товарооборота q₁р₀ из тождественного агрегатного индекса

через соответствующие индивидуальные индексы

Поскольку , то .

Абсолютное изменение индексируемой величины определяется по схеме, аналогичной агрегатным индексам.

Пример расчета средневзвешенных индексов цен и количества проданных акций на фондовом рынке приведен ниже.

Рынок	Объем торгов, млн ден. ед.		Темп прироста, %		ip	iq
	Базисный период p0q0	Текущий период p1q1	цен на акции	количества акций
Первичный	80	190	+90	+35	1.9	1,35
Вторичный	40	120	+150	+20	2,5	1,20
Итого	120	310	X	X	X	X

Таблица 8.2

Средневзвешенный индекс цен составляет

следовательно, в целом по фондовому рынку цены на акции в текущем периоде по сравнению с базисным выросли в среднем в 2,09 раза.

Средневзвешенный индекс количества проданных акций

таким образом, количество проданных акций в среднем увеличилось на 30%.

Индексы средних величин характеризуют относительное изменение среднего значения показателя х.

Уровень средней зависит от значений признака х_j и соотношения весов:

где f_j — частота; d_j — частость j-й составляющей совокупности.

Соответственно динамика средней определяется изменением значений х_j и структурными сдвигами d_j. Оценка влияния каждого из факторов осуществляется в рамках системы индексов средних величин: переменного состава, фиксированного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава показывает изменение средней величины в целом за счет обоих факторов — признака x_j и структуры совокупности dj.

Индекс фиксированного состава I_x показывает изменение средней величины за счет изменения только значений признака при неизменной структуре совокупности:

Индекс структурных сдвигов I_d показывает изменение средней за счет изменений в составе совокупности:

Формулы индексов фиксированного состава и структурных сдвигов разновзвешенные. В I_x веса фиксируются на уровне текущего периода, а в I_d значения признака х — на уровне базисного периода. Такой принцип взвешивания обеспечивает увязку трех индексов в систему

Пример. Определим индексы среднего размера страхового тарифа при страховании легковых автомобилей со сроком эксплуатации до 3 лет.

Таблица 8.3

Автомобиль	Страховой тариф, %		Страховая сумма, тыс. ден. ед.		Сумма страхового возмещения, тыс. ден. ед.
	Базис­ный перио x0	Теку­щий период x1	Базис­ный период f0	Теку­щий период f1	x0f0	x1f1	x0f1
Отечественный	2,5	3,0	520	750	13,0	22,5	18,75
Зарубежный	5,0	6,0	380	850	19,0	51,0	42,50
Итого	X	X	900	1600	32,0	73,5	61,25

Индекс переменного состава

и показывает, что средний страховой тариф в текущем периоде по сравнению с базисным повысился на 27,8%. Индекс фиксированного состава

т.е. за счет повышения страхового тарифа по каждой группе автомобилей средний страховой тариф увеличился на 21,1%. Индекс структурных сдвигов I_d = 0,038 : 0,036 = 1,056, следовательно, средний страховой тариф повысился на 5,6% за счет изменения в составе объектов страхования, а именно — увеличения доли страховой суммы зарубежных автомобилей с более высокой страховой ставкой.

Взаимосвязь сопряженных индексов обеспечивается:

= 1,211 • 1,056 = 1,278.

Разновидностью индексов средних величин являются территориальные индексы, в которых средние уровни сопоставляются по отдельным территориям, объектам.

Для построения территориальных индексов необходимо обосновать базу сравнения и порядок фиксации в пространстве значений признака х_j и структуры совокупности d_j. База сравнения может быть разной — для каждого объекта "своя" (она выбирается произвольно, в зависимости от цели сравнения) — либо одинаковой (средний уровень, стандарт). Например, при сравнении уровня смертности населения отдельных стран за стандарт принимается европейская возрастная структура населения. Средняя база для значений признака х_j определяется как средняя арифметическая взвешенная по двум объектам, а средняя структура — как структура суммарной по двум объектам совокупности.

Территориальный индекс переменного состава по объектам А и В вычисляется по формуле

и показывает, во сколько раз средний уровень признака объекта А больше или меньше, чем объекта В.

Территориальный индекс фиксированного состава

где f^st — частота; d^st — частость стандартной структуры совокупности. Вместо стандартной структуры совокупности может использоваться средняя структура. I_x показывает соотношение средних значений признака при фиксированной структуре совокупности.

Пример. Расчет территориальных индексов средней ожидаемой продолжительности жизни населения двух стран показан в табл. 8.4.

Таблица 8.4

Группа населения	Средняя ожидаемая продолжительность жизни, лет		Структура населения по полу, %
	Страна А хA	Страна В xb	Страна А dA	Страна В dB	Стандартная dst
Мужчины	72	62	46	52	49
Женщины	78	65	54	48	51
Итого	X	X	100	100	100

Территориальный индекс переменного состава = (72 х 0,46 + 78 • 0,54) : (62 • 0,52 + 65 • 0,48) = 75,24 : 63,44 = 1,186. Следовательно, средняя ожидаемая продолжительность жизни населения страны А в 1,186 раза больше, чем в стране В.

Индекс фиксированного состава по стандартной структуре I_x = (72 • 0,49 + 78 • 0,51): (62 • 0,49 + 65 • 0,51) = 75,06 : 63,53 = 1,181.

Таким образом, при условии, что структура населения в обеих странах стандартная, средняя ожидаемая продолжительность жизни в стране А превышает уровень страны В на 18,1%.