Вопрос 19
Критерий Коши существования предела функции.
Th.: Критерий Коши существования предела функции.
Pr.:
Необходимость:
Пусть
Тогда для
Отсюда
что и требовалось показать.
Достаточность:
Пусть выполнено условие Коши. Покажем,
что
Воспользуемся для этого определением
предела функции. Пусть
Возьмем
произвольное
Пусть
взято из условия Коши. В силу определения
предела последовательности найдется
такое, что
Отсюда из условия Коши имеем
.
В силу критерия Коши для последовательностей
последовательность
сходится. Пусть
.
Для
завершения доказательства остается
показать, что для любой последовательности
{
также равен А. Предположим противное:
для некоторой последовательности
.
Рассмотрим последовательность
Она, очевидно, расходится. Это противоречит
доказанной сходимости всякой
последовательности значений функций
для сходящейся к значений аргументоа.
Теорема доказана.