kozel_3sem

Глава

Третий семестр

1.1Первая неделя

1.9 Найти силу взаимодействия двух точечных диполей, если их дипольные моменты p1 и p2 направлены вдоль соединяющей их прямой, а расстояние между диполями равно d (см рис. 1).

Решение: Сила, действующая на диполь с дипольным моментом p в

неоднородном поле E:

В нашем случае, для нахождения силы взаимодействия нужно найти напряженность поля, создаваемую первым диполем. Найдем ее из закона Кулона, учитывая, что по условию задачи нас интересует напряженность поля на прямой, проходящей через диполь и параллельной его вектору поляризации (рис.2) :

(Здесь использовано условие точечности диполя: r x)

1

Таким образом, искомая сила взаимодействия:

1.10 Диск радиусом R заряжен равномерно с поверхностной плотностью σ. Определить нарпяженность поля E в точке, находящейся на расстоянии d от диска на перпендикуляре, проходящем через центр дис-

ка.

Решение: В силу осевой симметрии задачи, поле в интересующей

нас точке направлено вдоль перпендикуляра. Поэтому для нахождения напряженности надо просуммировать вертикальные составляющие поля

Ответ:E = 2πσ 1 − √ 1

1+r2/d2

1.17 В модели атома Томсона предполагалось, что положительный заряд e распределен внутри шара радиусом R = 10−8 см. Как должна

зависеть от радиуса плотность положительного заряда, чтобы электрон (точечная частица с зарядом -e), помещенный внутри шара, совершал гармонические колебания? Заряды механически друг на друга не действуют. Магнитным полем движущегося заряда пренебречь. Найти частоту колебаний электрона.

Решение: Рассмотрим равномерно заряженный шар. Определим напряженность поля в точке с радиус-вектором r. По теореме Гаусса для

электростатического поля:

V

В силу сферической симметрии задачи, напряженность поля направлена вдоль радиуса, проведенного в данную точку. Тогда

Видно, что гармонические колебания являются решением этого уравне-

1.20 Подсчитать среднюю объемную плотность ρ электрических за-

рядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического поля на поверхности Земли равна 100В/м, а на высоте h = 1.5 км эта напряженность падает до 25В/м.

Решение: Т.к. h = 1.5км R ≈ 6.4 · 103км, то можно считать по-

ле, создаваемое Землею, однородным. Воспользуемся теоремой Гаусса. Возьмем прямоугольный параллелепипед, одно основание которого расположим на поверхности Земли, второе - на высоте h, а его боковые

грани - вертикально. Тогда:

EdS ≡ E 0)S − E h)S = 4πQ. (1.13)

(Здесь Q - атмосферный заряд, заключенный в параллелепипеде, S -

площадь оснований параллелепипеда.). Тогда средняя плотность заряда

1В/м = 13 · 10−4ед. СГСЭ ρ ≈ 1 4 · 10−9ед. СГСЭ.

1.22 В шаре, равномерно заряженном электричеством с объемной плотностью ρ, сделана сферическая полость, центр которой O смещен относительно центра шара O на расстояние r. Определить электрическое

поле внутри полости.

Решение: Представим данный шар с полостью в виде такого же по размерам шара с плотностью заряда ρ и шара, смещенного в точку O , и радиусом, равным радиусу полости, с плотностью заряда, равной −ρ.

По принципу суперпозици электрических полей, поле в исходном шаре

4

будет совпадать с полем в данной системе. Поэтому поле внутри полости складывается из полей двух равномерно заряженных шаров:

(Здесь было использовано выражение (1.8) для поля равномерно заряженного шара). Таким образом, поле внутри полости однородно и равно

1.2Вторая неделя

1.13 Две бесконечные плоскопараллельные металлические пластинки

помещены в вакууме параллельно друг другу. Полный заряд на единицу площади на одной из них q1, на второй q2. Определить поверхностные

плотности зарядов на пластинках, а также напряженность поля между ними и во внешнем пространстве.

Решение: Обозначим поверхностные плотности зарядов σ1 на левой стороне левой пластинки, σ1 - на ее правой стороне, σ2 на левой стороне второй пластинки, σ2 - на правой стороне правой пластинки. Напряжен-

ности поля, создаваемого каждой из сторон пластинок будем обозначать в виде El1 (поле слева от левой стороны первой пластинки 1 ), или Er2

(справа от левой стороны второй пластинки). По условию, пластины металлические, следовательно, внутри них не должно быть поля. Отсюда (с учетом направлений полей, считаем все заряды положительными):

Напряженность поля, создаваемого пластинкой с поверхностной плотностью заряда σ есть E = 2πσ. По условию, полный поверхностный заряд на пластинках равен q1 и q2. С учетом этого, запишем систему:

Напряженность поля между пластинками: Eint = 2π q1 −q2), во внешнем пространстве Eext = 2π q1 + q2).

1.25 В однородное электрическое поле E0 вносится незаряженный

проводящий шар. Указать на его поверхности точки, в которых 1) поле абсолютной величине останется прежним, 2) поле по абсолютной величине удвоится.

Решение: Известно, что для того, чтобы внутри шара поле было однородным с напряженностью E0, по его поверхности должен быть

распределен заряд по закону

где θ - широта, а R - радиус шара. А поле вне шара является полем

диполя с дипольным моментом

При внесении металлического шара в однородное поле на поверхности шара произойдет перераспределение заряда таким образом, чтобы поле, созданное зарядами внутри шара, полностью скомпенсировало внешнее поле. Поэтому плотность индуцированных зарядов имеет вид (1.24). Поле вблизи поверхности шара равно

Отсюда искомые точки на поверхности имеют широту cos θ = ±13 в первом случае ( E = E0) и cos θ = ±23 во втором случае ( E = 2E0).

2.4 Три тонкие концентрические сферы радиусами R1 < R2 < R3, находящиеся в вакууме, заряжены соответственно зарядами Q1 Q2 и Q3.

В некоторой точке между первой и второй сферами измеряют потенциал. Найти изменение потенциала в этой точке, если вторую и третью сферы замкнуть между собой.

Решение: Пусть r - расстояние от центра шаров до точки, в которой измеряют потенциал (R1 < r < R2). Потенциал в точке r складывается

из потенциалов, создаваемых всеми тремя сферами: ϕ = Q1 + Q2 + Q3 (по-

r R2 R3

тенциал снаружи заряженной сферы радиуса R на расстоянии r ϕ = qr , внутри постоянен и равен ϕ = Rq ). После замыкания второй и третьей

сферы произойдет перераспределение заряда на них так, чтобы их потенциалы сравнялись:

2.20 Определить силу притяжения между точечным зарядом q и металлическим шаром радиуса r. Заряд находится на расстоянии d от

центра шара. Рассмотреть два случая: 1) шар заземлен; 2) шар изолирован, а полныей его заряд равен нулю.

Решение: 1) Вследствие заземления потенциал равен нулю. Восполь-

зуемся методом электростатических изображений. Уберем сферу и поместим некоторый заряд q так, чтобы поверхностью нулевого потенциала

осталась поверхность сферы. В таком случае, поле этой системы совпадает с полем вне сферы.

7

выбора точки В. Таким образом, изображением заряда q в сфере будет

данный заряд.

Поле, которое он создает в точке А, совпадает с полем индуцированных зарядов сферы в этой точке. Поэтому искомая сила взаимодействия

2) Если сфера не изолирована, то ее потенциал не равен нулю, но постоянен на всей поверхности. Добавим к пробному заряду из пункта 1) второй заряд в точку О величиной −q = −q dr . Сила взаимодействия

зарядов (а также заряда и сферы) станет

1.3Третья неделя

3.1 На сколько отличается от единицы диэлектрическая постоянная "

"идеального газа", состоящего из большого количества проводящих шариков радиусом r. Плотность (концентрация) шариков n мала, так что r3n 1.

Решение: Дипольный момент проводящего шара, помещенного в

8

3.7 Имеется тонкий длинный диэлектрический цилиндр длиной 2l и

радиусом r с "замороженной"поляризацией P0 = const. Найти напряженность электрического поля в точке A. Во сколько раз это поле сильнее, чем в точке B?

Решение: Из-за поляризации циллиндра на его торцах возникает

поверхностный заряд, причем его плотность σ = n P0), где n - вектор

внешней нормали к поверхности торца. Считаем циллиндр длинным в том смысле, что r l. Поэтому поле в точке A можно считать полем

равномерно заряженной пластины (его торца):

Поле в точке B рассчитаем, рассматривая торцы циллиндра в виде точечных зарядов (в силу r l):

Поле в точке A сильнее, чем поле в точке B в Ea/Eb ≡ l2/r2 раз.

3.19 Внутрь плоского конденсатора, обкладки которого соединены между собой, помещена диэлектрическая пластинка толщиной h с "замо-

роженной"однородной поляризацией (P = const). Вектор поляризации

P перпендикулярен боковым граням пластины. Определить напряжен-

ность поля и электрическую индукцию внутри и вне пластины. Расстояние между обкладками конденсатора равно d.

9

Решение: Пластина поляризована, следовательно, на ее поверхности есть поляризационная плотность зарядов. Она равна (см 3.7) σ = P .

Поэтому вместо диэлектрической пластины можно взять две плоскости, заряженные с плотностью σ. Поскольку обкладки конденсатора соедине-

ны, то произойдет образование индукционных зарядов на его обкладках. Пусть абсолютные величины поверхностной плотности на них равны σ1

(заряды противоположны по знаку по закону сохранения заряда). Кроме того, напряжение между обкладками должно быть ноль. Отсюда:

Напряженность поля внутри диэлектрика можно рассчитать как поле

Заметим, что поле внутри пластины можно было получить иначе: нормальная составляющая индукции поля не изменяется при переходе через

10

поверхность диэлектрика (на ней нет свободных зарядов, только поляризационные). Поэтому внутри диэлектрика индукция такая же, как и снаружи:

(вне пластины вектор поляризации нулевой).

3.26 Пространство между пластинами плоского конденсатора запол-

нено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого линейно меняется от значения "1 у одной пластины до значения "2 < "1 у дру-

гой. Расстояние между пластинами d, площадь каждой из них равна S. Найти емкость C конденсатора.

Решение: Предположим, заряд конденсатора равен q. Свободные

заряды в этой системе только на обкладках, поэтому индукция электрического поля внутри конденсатора не изменяется: D = 4πσ, а напряженность E = D = 4πσ . Найдем напряжение между обкладками:

3.30 Прокладка из сегнетоэлектрика (ε = 200) имеет толщину, рав-

ную зазору между пластинками плоского конденсатора. Площадь пластин плоского конденсатора S1 = 1 м2. Какова должна быть площадь S2

основания прокладки для того, чтобы в объеме, занимаемом прокладкой, индукция сделалась в 40 раз больше, чем до ее введения? Конденсатор изолирован.

11

Решение: Пусть конденсатор имеет заряд q. После введения пла-

стинки произойдет перераспределение зарядов так, чтобы напряжение между любыми двумя точками обкладок было одинаковым. Пусть σ1 -

плотность зарядов обкладок той части конденсатора, где нету диэлектрика, а σ2, соответственно, той части, куда помещена прокладка. На-

Кроме того, должен выполняться закон сохранения заряда:

По условию, индукция поля после введения диэлектрика должна увели-

Равенства (1.46), (1.47) и (1.48) образуют систему уравнений, из которой можно выразить S2:

1.4Четвертая неделя

3.42 Вычислить электростатическую энергию заряда на шаре радиусом R в вакууме, если заряд шара q равномерно распределен по его поверх-

ности.

Решение: Электростатическая энергия системы равна работе, ко-

торую необходимо совершить для сообщения системе заданного заряда. Будем малыми порциями δQ q приносить с бесконечности заряд на

12

шар. Пусть в некоторый момент времени заряд шара Q. Тогда работа, к-ую надо совершить для увеличения заряда до Q + δQ есть:

00

3.50По сфере радиусом R равномерно распределен заряд Q. Определить давление изнутри на поверхность сферы, обусловленное взаимодействием зарядов.

Решение: Решим задачу двумя способами:

1.Энергетический способ. Пусть давление зарядов шара на поверхность оного есть p. В силу симметрии задачи, оно одинаково для

каждой точки поверхности. Предположим, радиус шара адиабатически увеличился под действием давления на δR. Тогда изменение

энергии шара обусловлено работой сил давления:

Q2 δW = −2R2 δR

(см. предыдущую задачу).

δV = 4πR2

Отсюда искомое давление есть p = 8πRQ 4 .

2.Механический способ. Рассмотрим малый элемент поверхности шара. Вблизи него поле можно считать однородным полем заряженной пластинки. Этот элемент создает поле E = 2πσ (σ = Q/ 4πR2))

и внутри шара, и снаружи. Но поскольку внутри шара поля нет,

13

то поле малого элемента поверности должно компенсироваться полем остальной поверхности шара, которая, следовательно, создает в данной точке поле E = 2πσ, направленное наружу шара. Сила, действующая на площадку, есть F = σδSE, откуда

p = F/ δS) = 2πσ2 = Q2 . 8πR4

3.61 Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциалов V и отсоединен ЭДС. Площадь пластинки S, расстояние между ними d. Пластины конденсатора расположены вертикально. Снизу под-

водят сосуд с жидким диэлектриком, имеющим диэлектрическую проницаемость ε, так что диэлектрик заполняет половину конденсатора.

1.Чему равна емкость конденсатора C?

2.Чему равна напряженность поля E в воздушной части промежутка между пластинами и в части, заполненной диэлектриком?

3.Как распределена поверхностная плотность σ электричества в пла-

стине?

4. Определить уменьшение энергии конденсатора W . На что она

была израсходована?

Считать, что граница жидкость-воздух плоская и все параметры конденсатора изменяются скачком.

Решение: Конденсатор после введения жидкости можно предста-

вить в виде двух параллельно соединенных конденсаторов с площадями обкладок S/2, один из которых заполнен диэлектриком с проницаемостью ε (Одинаковое напряжение, суммарный заряд равен первоначально-

му). Пусть поверхностная плотность конденсатора с диэлектриком внутри есть σ2, второго конденсатора - σ1. Закон сохранения заряда:

Из этих двух уравнений выражаем плотности заряда:

Эта энергия равна работе против силы тяжести по поднятию диэлектрика внутрь конденсатора.

4.33 Показать, что сопротивление однородной проводящей среды, за-

полняющей все пространство между двумя идеально проводящими оболочками произвольной формы, равно ρ/ 4πC), где ρ - удельное сопротивление среды, а C - взаимная емкость этой системы электродов-оболочек

в вакууме.

Решение: Будем считать, что заряды электродов изменяются мед-

ленно. Тогда токи в системе можно считать стационарными, а объемных зарядов в среде не будет. Поверхности электродов эквипотенциальны. Тогда распределение электрического поля будет решением задачи:

ϕ = 0

ϕlef t − ϕright = V.

Эта задача совпадает с задачей в вакууме, поэтому поля в вакууме и в данной среде не отличаются.

1.5Пятая неделя

5.5 Найти индукцию B магнитного поля на оси соленоида в точке A, из которой диаметры торцов видны под углами 2α и 2β. Соленоид состоит из N витков, равномерно намотанных на длине l, и по нему течет ток J .

Решение: Магнитное поле, создаваемое элементом поверхности dS:

(Здесь dΩ - телесный угол, под которым видна площадка dS).Для нахож-

дения поля на оси надо просуммировать по всей поверхности соленоида

5.6 При производстве полиэтиленовой пленки широкая полоса протягивается по роликам со скростью v = 15 м/с. В процессе обработки

(главным образом из-за трения) поверхность пленки приобретает равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью σ. Оценить максимальное значение σ и магнитного поля B вблизи поверхности плен-

ки, принимая во внимание, что при напряженности электрического поля E0 = 30 кВ/см в воздухе возникает электрический разряд (пробой).

Решение: Напряженность электрического поля пленки можно оценить, рассматривая некую точку вблизи поверхности: E = 2πσ. Пробой произойдет при E > E0. Магнитное поле создается перемещающимся

поверхностным зарядом. Применим теорему о циркуляции магнитного поля для контура ABCD. Считая пленку широкой, а контур расположен-

ный вдали от ее краев, можно считать магнитное поле однородным, параллельным плоскости пленки и направленным перпендикулярным скорости пленки. Отсюда:

5.14 По оси полого цилиндра натянута заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд χ = 1 ед. СГСЭ. Цилиндр вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Ω = 1000 рад/с. Определить мгнитное поле B в материале цилиндра вдали от его торцов, пренебрегая

пьезоэффектом всеми эффектами, вызываемыми центробежной силой. Определить также магнитное поле в полости циллиндра и во внешнем пространстве в случаях, если циллиндр: 1) металлический немагнитный; 2) диэлектрический (ε = 3).

Решение: Обозначим внутренний и внешний радиусы циллиндра r и R соответственно. Заряженная нить внутри циллиндра создает заря-

ды в циллиндре. Их вращение вместе с циллиндром создает ток, из-за которого возникает магнитное поле. В результате система эквивалентна соленоиду с некоторым распредлением поверхностного или объемного тока. Как известно, магнитного поля вне соленоида нет. Поэтому в обоих случаях можно сказать, что поле вне циллидра есть ноль. Поле внутри полости также есть ноль, т.к. взяв прямоугольный контур проходящий по оси циллиндра одной стороной и вне циллиндра другой стороной увидим, что ток через контур в силу электронейтральности циллиндра отсутствует, а поля снаружи нет. Значит, и поле внутри полости тоже ноль.

Рассмотрим случай металлического циллиндра. На его внутренней

стороне образуется индуцированный заряд так, чтобы полностью скомпенсировать электрическое поле нити (которое есть E x) = 2xχ , x - рассто-

яние от нити до точки наблюдения). Поэтому поверхностная плотность заряда на внутренней стороне циллиндра: 2πrσ1 = χ,

Из закона сохранения заряда найдем поверхностную плотность заряда на внешней стороне циллиндра:

Исходную систему можно заменить системой двух соосных соленоидов соответствующего радиуса, по которым текут поверхностные токи σ1Ωr =

χΩ = −σ2ΩR. Видим, что они равны и противоположно направлены. По-

2π

ля, создаваемые ими внутри полости будут компенсироваться. Внутри металла есть только поле внешнего соленоида. Поэтому поле в полости

Bc = 0

17

a поле в металле

2χ

Bm = c Ω.

Теперь рассмотрим случай диэлектрического циллиндра. Электри-

ческая индукция определяется лишь зарядом провололки:

D x) = 2xχ .

Поляризационный заряд на внутренней поверхности определим из усло-

Циллиндр в целом электронейтрален, следовательно 2πrσ1 = 2πRσ2.

Магнитное поле внутри диэлектрика определяется внешней поверхностью:

5.21 Вдоль плазменного цилиндра радиусом a с параболическим распределением проводимости λ = λ0 1 − r2/a2) течет постоянный ток J . Найти магнитное поле B r) внутри и вне цилиндра в зависимости от

расстояния r от оси цилиндра.

Решение: По закону Ома: j = λE. Поскольку ток течет вдоль про-

вода, то электрическое поле параллельно оси провода. Любое радиальное распределение напряженности поля, кроме однородного, будет про-

Отсюда

2J

E = πλ0a2 .

Магнитное поле ищем по теореме о циркуляции, охватывая ось циллиндра окружностью радиуса r. При r < a:

5.23 По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам,

сделанным из немагнитного материала и изолированным друг от друга, текут в противоположных направлениях токи с одной и той же плотностью j = 1000 А/см2. Проводники ограничены цилиндрическими поверх-

ностями. Найти велчичну и направление магнитного поля в полости П. Ток в левом проводнике направлен к читателю, а в правом - от читателя. Расстояние между осями цилиндров AB = d = 5см.

Решение: Возьмем произвольную точку C в полости П. Пусть AC =

r1, BC = r2. Распределение токов нужной конфигурации получится, ес-

ли рассмотреть два пересекающихся сплошных проводника, по которым текут такие же токи в таких же направлениях. При этом в области пересечения проводников (соответствующей полости П) тока не будет. Таким образом, поле в полости можно найти, сложив поля, создаваемые обоими токами.

Поле в полости однородно и направлено в плоскости чертежа вверх перпендикулярно АВ.