kozel_3sem

1.6Шестая неделя

6.1 Какой ток нужно пустить по длинному и тонкому однослойному соленоиду с плотностью намотки n витков на сантиметр, чтобы ин-

дуцкия B была равна индукции постоянного магнита тех же размеров?

Намагниченность I постоянна и направлена по оси.

Решение: Намагниченность есть магнитный момент единицы объ-

ема. Поверхностный ток определяем из условия равенства магнитного

момента IV и момента, создаваемого током: ImS/c. Отсюда поверхност-

ный ток, создающий такую же намагниченность:

6.4 Бесконечная плоская пластина изготовлена из однородного на-

магниченного ферромагнетика, причем вектор намагниченности I па-

раллелен плоскости пластины. Найти поля B, H внутри и вне пластины. Решение: Намагниченность плоскости можно заменить соответству-

ющей величины поверхностным током. Он будет идти в направлении,

перпендикулярном I по обеим поверхностям в разных направлениях. Поэтому вне плоскости поля нет: B = H = 0, т.к. поля от токов по

поверхностям компенсируют друг друга. Тангенциальная составляющая

Hτ непрерывная при переходе через поверхность без поверхностных токов проводимости. Поэтому H = 0 и внутри пластины. Индукция же

поля есть B = −4πI ( из B = H + 4πI).

6.5 Имеется тонкий длинный постоянный магнит длиной 2l и ради-

больше, чем в точке С?

Решение: Намагниченность создает поверхностный ток на циллин-

дре (1.62). Воспользуемся результатом задачи 5.5. По формуле (1.58)

r2

Hb = Bb = 2πI 1 − 8l2 ).

Считая соленоид тонким, можем найти поле во внутренней точке соленоида, близкой к C,считая ее лежащей близко к оси соленоида:

Непрерывность тангенциальной составляющей H позволяет найти напряженность в точке C:

r2

Hc = −2πI l2 = Bc.

Отсюда искомое отношение

Bc = r2 .

Bb l2

Качественная картина поля представлена на рисунке.

6.17 На железный сердечник постоянного сечения длиной l = 1 м с зазором d = 1 мм намотана катушка с числом витков N = 1600 по которой течет ток . Зависимость B H) материала сердечника представлена

на рисунке. Определить магнитное поле в зазоре.

Решение: Будем считать, что поле, создаваемое катушкой, не вы-

ходит за пределы сердечника нигде, кроме как в зазоре. Воспользуемся теоремой о циркуляции. Тогда

H B)l + Bd = 4cπ J N

Итак, чтобы найти поле в сердечнике, надо найти точку пересечения линии (1.64) и зависимости H B) материала. При подсчете надо перевести

величины из СИ в единицы системы Гаусса:

1A = 3 · 109 ед. СГС.

Ответ: B ≈ 15 кГс H ≈ 5 Э.

6.18 Тонкий тороидальный сердечник радиусом R выполнен из мягкого железа с магнитной проницаемостью µ 1. Сердечник разрезан под диаметру, половинки раздвинуты на расстояние L, а затем один из

зазоров замкнут постоянным магнитом (см. рис.). Намагниченность вещества магнита I. Пренебрегая рассеянием, найти поле в свободном за-

зоре.

Решение: Заменим намагниченность поверхностным током проводи-

мости по магниту. Считая, что поле не выходит из сердечника, запишем

теорему о циркуляции:

Hdl = 4πI.

(здесь использован результат задачи 6.1 (1.63)). Считаем, что в зазоре поле в силу малости размера зазора такое же, как и в сердечнике (непрерывность нормальной составляющей B),H = B/µ. Тогда цикру-

2πI

B = .

L + πRµ

1.7Седьмая неделя

5.28 Определить индуктивность L проводника, показанного на рисунке. Ток течет по проволоке диаметром d = 1 мм, расположенной вдоль

оси достаточно тонкой металлической трубки, переходит на дно трубки, к центру которого припаяна проволока, и возвращается обратно по поверхности трубки. Высота трубки 400 мм, диаметр - 20 мм.

Решение: Будем считать, что трубка достаточно тонкая и длинная,

чтобы пренебречь краевыми эффектами вблизи ее торцов. Магнитного поля снаружи трубки нет, внутри оно создается только током, текущим по проволоке. Это поле по величине равно

J = 2crJ

где r - расстояние от оси системы до точки наблюдения (r < R). При из-

менении тока в системе, возникнет индукционное электрическое поле. В силу симметрии системы, можно предположить, что вихревое электрическое поле будет праллельно оси системы. Его циркуляция по контуру ABCD будет равна изменению потока магнитного поля через прямоугольник ABCD. Таким образом, для нахождения индуктивности нам

нужно найти поток магнитного поля через этот контур.

5.30 На один сердечник намотаны две катушки. Индуктивности катушек в отдельности соответственно равны L1 = 0 5 Г и L2 = 0 7 Г. Чему равна взаимная индуктивность M ? Рассеяния магнитного поля нет.

Решение: Пусть во второй катушке течет ток I2. Тогда в сердечнике

создается магнитные поток Φ0 = L2I2 (здесь N2 - число витков во вто-

N2

рой катушке). Этот поток проходит через каждый из N1 витков первой катушки, создавая поток Φ12 = Φ0 N1 через первую катушку. Таким

образом, взаимная индуктивность второй катушки на первую есть

L12 = Φ12 = N1 L2.

I2 N2

Аналогично, предположив, что в первой катушке течет ток I1,посчитаем

поток, возбуждаемый ею во второй катушке, и найдем взаимную индуктивность

L21 = N2 L1. N1

√

По теореме взаимности L12 = L21. Тогда M = L12 = L21 = L12L21 =

√

L1L2 ≈ 0.6 Г.

8.34 В скрещенных однородных полях E B E B из некоторой точки x0 разлетаются электроны с одинаковыми скоростями v c, лежащими в плоскости 0xy. Считая E B (в СГСЭ) и пренебрегая взаимодействием электронов между собой, найти, на каком расстоянии l и через какое время T они снова соберутся в одну точку. Изобразить (качественно)

траекторию частицы, если известно, что в начальный момент времени она покоилась в в точке x0.

Решение: Сила Лоренца, действующая на электрон:

Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью V , параллельной оси 0x. Тогда в новой системе отсчета скорость электрона будет равна

Электрическое поле обратится в ноль при

V= c Ec .

Вэтой системе отсчета все электроны движутся по окружностям с оди-

наковой частотой

eB ωларм = mc .

Поэтому (в исходной системе отсчета) через время

T = 2π mceB

все электроны соберутся в точке

mc2E x = x0 + 2π eB2 .

Траектория изначально покоившегося электрона будет циклоидой (т.к. в движущейся системе отсчета он не покоится).

8.64 В однородное магнитное поле с индукцией B помещена тонкая металлическая лента шириной d и толщиной a так, что плоскость лен-

ты перпендикулярна к индукции B. По ленте пропускают ток J . Найти разность потециалов V , возникающую между краями ленты (т.е. на расстоянии d), если концентрация свободных электронов в металле равна n.

Решение: Сила, действующая на электрон:

Здесь El - электрическое поле, создаваемое источником тока и обеспечивающее течение тока, −av - сила, возникающая из-за наличия сопротивления в металле, Et - поле, возникающее из-за разделения зарядов на

боковых поверхностях пленки. В стационарном состоянии поперечные и продольные (по отношению к направлению тока) компоненты силы скомпенсированы. Поэтому: Et = ec vB.

J = env · ad

J B

V = Et · d = anc .

1.8 Восьмая неделя

6.26 На сколько отличается от единицы магнитная проницаемость µ

"идеального газа", состоящего из большого числа сверхпроводящих шариков радиуса r? Концентрация шариков мала, так что nr3 1.

Решение: Пусть газ помещен в однородное поле B0. Индукционные

токи на поверхности шарика полностью компенсируют внешнее поле. Пусть i θ) - поверхностная плотность тока, θ - широта. Магнитное поле, создаваемое всеми этими токами, внутри шара однородно и равно B0.

Вычислим его в центре шара. Для этого воспользуемся выражением для индукции магнитного поля на оси кольца:

Найдем магнитный момент шарика. Элемент поверхностного тока создает момент

Отсюда магнитный момент всего шарика есть:

M = −πrc 3 π i θ) sin2 θ dθ.

0

Видим, что интеграл в этом выражении можно выразить из (1.8):

M = −12 B0r3.

Отсюда магнитный момент единицы объема (намагниченность):

I = −n2 B0r3.

H = B − 4πI

H = B0 1 + 2πnr3)

B = µH

отсюда, пользуясь малостью nr3:

µ ≈ 1 − 2πnr3.

29

6.35 Над плоской поверхностью сверхпроводника первого рода на изолирующем слое толщиной h = 5 мм лежит тонкое сверхпроводящее кольцо радиусом R = 10 см, по которому течет ток J . При каком токе J кольцо начнет парить над сверхпроводником, если масса кольца m = 1 г?

Решение: На сверхпроводнике возникнут поверхностные токи, пол-

ностью компенсирующие магнитное поля витка с током внутри самого сверхпроводника. Эту систему можно представить в виде отраженного в сверхпроводнике кольца. Расстояние между кольцом и его отражением 2h R, поэтому сила их взаимодействия равна силе взаимодействия двух прямолинейных отрезков провода длиной 2πR, расположенных на растоянии 2h с током J каждый. Очевидно, чтобы кольцо парило над

сверхпроводником, необходимо, чтобы сила ампера компенисировала си-

лу тяжести:

mg = 2hc2 2 J 2 · 2πR

откуда

J ≥ c mgh ≈ 8 4 · 1010 ед. СГСЭ = 25 A. 2πR

7.20 Сверхпроводящий шарик летит по направлению к соленоиду вдоль его оси. Индукция поля в центре соленоида B = 1000 Гс. Какова должна быть начальная скорость v шарика, чтобы он смог пролететь

через соленоид насквозь? Диаметр соленоида много больше диаметра шарика. Плотность материала шарика ρ = 8 г/см3.

Решение: Воспользуемся задачей 6.26. Представим, что вместо од-

ного шарика у нас есть малый объем газа таких шариков. Тогда изменение энергии магнитного поля со внесенными в катушку шариками должно быть равно или меньше их начальной кинетической энергии. По результату задачи 6.26 магнитная проницаемость газа:

µ = 1 − 2πnr3.

7.31 В опытах А.Д. Сахарова сверхсильные магнитные поля получа-

лись взрывным сжатием отрезка проводящей циллиндрической трубы, внтури которой изначально было создано поле B0. Определить магнитную индукцию в момент максимального сжатия, если B0 = 5 · 104 Гс, начальный внтуренний радиус R = 5 см, радиус в момент максимального сжатия r = 0 5 см. Оболочку, окружающую магнитное поле, считать

идеально проводящей. Определить также давление, необходимое для такого сжатия.

Решение: В данном процессе ввиду идеальности проводящих стенок,

магнитный поток через поперечное сечение трубы сохраняется:

Давление, для этого необходимое, есть давление, котороые оказывает магнитное поле на стенки в момент наибольшего сжатия. Оно равно плотности объемной магнитной энергии в трубе:

P= B2 ≈ 1012 = 106 атм. 8π

1.9Девятая неделя

Кзадаче 8.51

8.51Длинный сверхпроводящий соленоид радиусом r0 = 2 см укреп-

лен по центру по центру диска из изолятора, который может свободно вращаться вокруг своей оси. Соленоид замкнут накоротко, и в нем циркулирует ток, создающий в центре соленоида индукцию B0 = 104 Гс.

На диск вне соленоида нанесены заряды, суммарная величина которых составляет Q = 4 ·10−6 Кл. Соленоид разогревается, и ток в нем прекращается. Найти момент импульса L, который получает в результате этого

вся система.

Решение: При изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое. Вычислим его циркуляцию по окружности радиуса R, чей

центр лежит на оси соленоида:

2π · E R) = −1c ∂B∂t · πr02.

Закон изменения момента импульса:

dL dt = M

где момент импульса определяется интегрированием по площади диска электрической силы, действующей на каждый элемент заряда поверхно-

сти:

00

Учитывая эти значения, вычислим момент:

∞

L = M dt = −2Qc r02B0.

0

12.3 Пространство внутри длинного соленоида, состоящего из N вит-

ков проволоки, заполнено однородным веществом с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ. Длина соленоида равна l, радиус R. По обмотке течет переменный ток J = J0 cos ωt. Прене-

брегая краевыми эффектами, вычислить магнитную и электрическую энергии, локализованные внутри соленоида, и найти отношение максимальных значений этих энергий. Провести числовой расчет для R = 5 см, ε = µ = 1, и частоты ν = 100 Гц.

Решение: Магнитное поле тока в соленоиде:

Электрическое поле возникает из-за изменения магнитного поля. Его линии напряженности - коаксиальные с соленоидом окружности:

2πr · E r) = −1c ∂B∂t πr2

2πr

E r) = c2l N J0ω sin ωt.

33

Энергия электрического поля:

Отношение наибольших энергий электрического и магнтиного полей:

12.5 Заряженный и отключенный от источника электричества плоский конденсатор, состоящий из двух одинаковых дисков радиусом R,

пробивается электрической искрой вдоль своей оси. Считая разряд квазистационарным и пренебрегая краевыми эффектами, вычислить мгновенное значение напряженности магнитного поля H внутри конденсатора (в зависимости от расстояния r до его оси), если сила тока в электрической искре в рассматриваемый момент времени равна J .

Решение:

4π 1 ∂D× H = c j + c ∂t .

Найдем ток смещения (второй член в этой формуле). Во-первых, в системе есть изменяющееся поле конденсатора (его заряд уменьшается), во-вторых, в канале искры присутствует электрическое поле, чье значение определяется проводимостью в данной точке пространства. Оценим вклад этого поля в ток смещения:

1

j = λ Es

∂E∂ts = λ ∂j∂t ≈ 0

так как по условию разряд стационарный (то есть сила тока не меняется). Ток смещения, вызванный изменением электрического поля конденсато-

ра:

Q Ec = 4π S

∂E∂tc = 4π SJ .

34

Интегрируем по окружности, чей центр лежит на оси конденсатора:

12.9 Плоскому конденсатору емкостью C, обкладками которого являются два одинаковых диска, сообщен заряд Q. Затем конденсатор от-

ключают от источника электричества. После этого пластины соединяют длинным циллиндрическим проводом, проходящим вне конденсатора, и конденсатор разряжается. Пренебрегая неоднородностью поля на краях конденсатора, показать непосредственным расчетом, что полный поток электромагнитной энергии из конденсатора равен потоку электромагнитной энергии, втекающему внутрь провода. Проанализировать явление с точки зрения представления о движении, превращении и сохранении энергии.

Решение: Вектор потока энергии

В конденсаторе:

E = 4π QS

2J H r) = −cR2 r.

Поток энергии через боковую поверхность конденсатора:

Здесь d - расстояние между пластинами конденсатора, R - радиус пла-

стин. Рассчитаем поток энергии в провод. Магнитное поле на поверхности провода:

В этой формуле 2δ - толщина провода. Электрическое поле найдем из

закона Ома:

E = jλ = j · πδ2/πδ2 = J πδλ2 .

35

(RΩ - сопротивление провода). Входящий поток электромагнитной энер-

гии:

Φin = 4cπ EH · 2πδL = 2c EL · 2πHδ = J 2RΩ.

Здесь были использованы соотношения (1.67) и (1.68). Преобразуем (1.66):

Φout = 4πRπQ2 d · J = U J = J 2RΩ.

Видно, что потоки энергий тождественно равны. При этом, энергия, ранее сконцентрированная в конденсаторе в виде электрического поля, втекает в провод, преобразуясь там в тепло.

1.10Десятая неделя

9.8 Последовательно соединенные дроссель L и омическое сопротивление присоединены к источнику постоянного тока с ЭДС ε. Полное омическое сопротивление цепи равно R. Индуктивность дросселя, когда в него вставлен железный сердечник, равна L1. Индуктивность же того дросселя без железного сердечника L2. Вначале сердечник был вставлен. В момент времени t = 0, когда ток в цепи уже установился, очень быстро

вынимают железный сердечник (в течение времени, пренебрежимо малого по сравнению с временем установления тока). Определить силу тока I в цепи в зависимости от времени для t > 0

Решение: Установившееся значение силы тока в цепи до извлечения

сердечника:

ε

I1 = R .

При быстром извлечении сердечника возникающая ЭДС самоиндукции в катушке препятствует изменению потока через катушку. Поэтому можно записать

Φс сердечником = Φбез сердечника

или

I1L1 = I2L2.

36

Из последнего равенства получим начальное значение силы тока для цепи без сердечника. Запишем закон Ома:

dI

ε − L2 dt = IR.

Решим его, задав начальное условие I 0) = I2:

где τ = LR2 .

9.16 При отключении цепей постоянного тока, обладающих большой

индуктивностью (например, обмоток возбуждения генераторов постоянного тока), эти цепи предварительно замыкают на параллельно включенное сопротивление r для ограничения перенапряжений. Определить, во

сколько раз в этом случае максимальное напряжение на зажимах цепи Vm x будет превышать приложенное постоянное напряжение V0.

Решение: Когда катушка подключена к сети, через нее течет ток I0 = VR . При отключении цепи питания ЭДС самоиндукции в катушке

препятствует изменению потока, следовательно, ток не успевает измениться. Далее, происходит затухание тока по закону

I = I0e−t r+R)/L.

37

Напряжение на резисторе r наибольшее в момент отключения (t = 0):

9.17 В колебательном контуре с индуктивностью L и емкостью C совершаются незатухающие колебания силы тока I = I0 cos ωt, где ω2 = 1/ LC). Катушкой индуктивности служит прямая длинная проволочная

спираль. Как изменятся частота ,амплитуда и энергия колебаний, если в момент времени t = 0 очень быстро (то есть за промежуток времени,

много меньший периода колебаний тока) растянуть спираль до удвоенной длины? Объяснить, почему при этом меняется энергия колебаний.

Решение: Индуктивность катушки обратно пропорциональна ее длине:

B 1l .

При быстром изменении параметров катушки магнитный поток через нее не успевает измениться:

LI0 = L1I1

1

L1 = 2 L I1 = 2I0.

Отсюда видно, что амплитуда колебаний удвоилась.

В момент t = 0 конденсатор полностью разряжен, следовательно, вся

энергия колебаний запасена в магнитном поле катушки. Эта энергия есть

То есть энергия колебаний удвоилась засчет работы, совершенной над катушкой при ее растяжении (т.к. соседние витки катушки притягиваются друг к другу как провода с одинаковым направлением тока).

Частота колебаний, определяемая формулой

√

увеличилась в 2 раз.

9.27 В схеме, изображенной на рисунке, в некоторый момент времени замыкают ключ K, и конденсатор C, имеющий первоначальный заряд q0, начинает разряжаться через индуктивность L. Когда ток разряда достигает максимального значения, ключ K вновь размыкают. Какой заряд протечет через сопротивление R? Сопротивление диода D в схеме в прямом направлении много меньше R, в обратном - бесконечно велико.

Решение: Ток через диод после размыкания ключа не течет. Поэто-

му процесс разрядки конденсатора описывается уравнением

Cq = −L ddtq˙

(т.к. из закона сохранения заряда q˙ = I). Используя начальные условия (I = 0 q = q0), получим закон изменения тока:

I= q0ω sin ωt

Вмомент, когда ток достиг наибольшего значения, ключ размыкают и конденсатор перестает оказывать влияние на систему. ЭДС индукции в катушке положительна (относительно обхода контура по часовой стрелке), поэтому диод открывается. Катушка с током Im x = q0ω оказывается

замкнутой на резистор. Из закона Ома

−L dIdt = IR

получим закон изменения тока:

I = Im xe−t/τ

39

где τ = L/R. Протекший заряд получим, проинтегрировав силу тока по

времени:

9.53 Резонансный контур L R C раскачивается периодически по-

следовательными импульсами, такими, что каждый отдельный импульс создает на конденсаторе дополнительное напряжение V . Промежутки времени между двумя последовательными импульсами в целое число n раз больше периода собственных колебаний. Определить амплитуду V0

установившихся колебаний, считая декремент затухания контура малым.

Решение: Будем считать, что раскачка импульсами началась при

нулевой энергии колебательного контура. В таком случае, импульсы накачки будут следовать в момент максимального напряжения на конденсаторе.

Декремент затухания есть логарифм отношения двух последовательных локальных максимумов напряжения (заряда, силы тока...):

d = δT = ln Vk

Vk+1

откуда

Vk+1 = Vk e−d.

Т.к. декремент затухания мал, период собственных колебаний можно считать равным √

T = 2π LC.

40