1. Распространение ультракоротких световых импульсов в линейных дисперсионных средах

1.1. Фемтосекундный волновой пакет: временное и спектральное представление [1, 3]

Временное представление амплитуды и фазы поля импульса

В квазимонохроматическом приближении

/₀<<1

электрическое поле произвольного сверхкороткого импульса, можно представить в виде

, (1.1)

где А(t,z) – комплексная амплитуда, ₀ – несущая или центральная частота (central frequency) в спектре импульса шириной .

Импульс считается сверхкоротким, если его длительность короче, чем 10^-9 с, т.е. в пространстве его длина меньше 30 см.

Комплексную амплитуду импульса можно выразить через действительные параметры:

огибающую импульса (t,z) и временную фазу (t,z) (temporal phase).

При Z=0

(1.2)

Интенсивность импульса определяется вектором Пойнтинга:

I(t, z)=c<E²>/4π (1.3)

При этом огибающую интенсивности импульса можно представить в виде

Спектральное представление амплитуды и фазы поля импульса

Так как E(t) может быть представлено в виде интеграла Фурье

(1.4)

где -спектральная амплитуда импульса, связанная с полем -обратным преобразованием Фурье

(1.5)

Спектральную амплитуду импульса по аналогии так же можно выразить через действительные параметры - модуль огибающей спектральной амплитуды импульса A(, z) и спектральную фазу (, z) (spectral phase).

При z=0 (1.6)

Временное и спектральное описания светового импульса эквивалентны. Эквивалентность описаний подтверждается теоремой Винера-Хинчина, связывающей огибающую спектральной интенсивности с корреляционной функцией поля (корреляционной функцией первого порядка). Аналогичное соотношение справедливо для временной огибающей интенсивности.

При фемтосекундной длительности импульсов временные параметры не доступны для прямых измерений, в то же время огибающая спектральной интенсивности может быть измерена спектральными приборами:

Спектрально ограниченный импульс

Transform-limited pulse or Bandwidth-limited pulse

Наиболее распространенный тип импульсов в фемтосекундной оптике – импульсы с гауссовой и гиперболической (секанс-квадрат) огибающими.

У гауссова импульса более резко спадает интенсивность крыльев по сравнению с крыльями импульсов гиперболической формы: как exp(-at²) к exp(-at).

Импульсы, генерируемые современными фемтосекундными лазерами, по форме огибающей ближе к импульсам гиперболической формы.

Определение спектрально ограниченного импульса

У спектрально ограниченного импульса произвольной формы длительность импульса ₀ определяется обратным значением ширины его спектра  в соответствии с Фурье преобразованием.

Временные огибающая поля и фаза импульса гауссовой формы могут быть представлены в виде

(1.6)

(t)= 0.

Тогда огибающая интенсивности примет вид

(1.7)

где _1/2 - длительность импульса на полувысоте (1/2)I₀ (FWHM),

₀ - длительность импульса огибающей интенсивности по уровню e^-1I_0.

Энергия в импульсе гауссовой формы может быть определена как

(1.8)

Для поля в спектральном представлении при нулевой временной фазе по Фурье имеем

(1.9)

(1.10)

(1.11)

Из (1.10-1.11) для произведения длительности импульса на ширину спектра, определяющего степень синхронизации компонент спектра импульса, имеем соотношение для определения спектрально ограниченного импульса гауссовой формы с полностью синхронизованными спектральными компонентами

(1.12)

При определении длительности импульса по уровню e^-1 :

или (1.13)

(1.14)

соответствующие ширины спектра огибающей интенсивности по уровню ½ и e^-1.

(1.15)