Для гиперболического импульса аналогичные формулы будут иметь вид:

временная огибающая импульса «секанс-квадрат»

при длительности импульса по уровню FWHM

(1.16)

при длительности по уровню e^-1

(1.17)

Спектральная огибающая импульса тоже будет гиперболической и с нулевой фазой, если временная фаза равна нулю:

при длительности импульса по уровню FWHM она имеет вид

(1.18)

При этом длительности импульсов связаны соотношением

(1.19)

и произведение ширины спектра на длительность определяется величиной

(1.20)

Длительность импульса: определения

Понятие длительности является условным и зависит от правил ее определения.

Выше были использованы два определения длительности импульса: по уровню ½ (FWHM) и e^-1 от максимальной интенсивности. Это наиболее часто используемые определения.

Рис.1.1. Определение длительности по уровню FWHM и его недостаток.

Наряду с этим иногда используются следующие определения:

3. Эффективная длительность или энергетическая длительность, равная отношению энергии импульса к максимальной его интенсивности

(1.21)

Эффективная длительность равна длительности прямоугольного импульса той же энергии и той же максимальной интенсивности.

Рис.1.2. Определение эффективной длительности импульса.

4. Среднеквадратичная длительность импульса, определяемая как момент второго порядка от огибающей интенсивности:

(1.22)

Рис. 1.3. Определение среднеквадратичной длительности импульса.

Соотношения между длительностями, определенными различными способами:

прямоугольный импульс : ^, (1.23)

гиперболический импульс :

^, (1.24)

Энергия в импульсах гауссовой и гиперболической форм может быть определена выражениями:

(1.25)

(1.26)

Рис. 1.4. Вид спектральных и временных огибающих нескольких наиболее часто употребляемых импульсов.

Предельно короткий импульс - импульс, длительность которого равна одному или нескольким колебаниям электромагнитного поля.

Какую длительность имеет предельно короткий импульс, если ширина его спектра достигает октавы?

Соотношение между периодом колебания T₀ на средней частоте импульса и шириной его спектра для импульса со спектральной шириной, равной октаве ():

откуда следует

Для гауссова импульса (_1/2_1/2  0,44) при ширине спектра, равной спектральной октаве, длительность импульса будет равна

. (1.26)

Определение несущей частоты волнового пакета (carrier-envelope frequency)

(1.27)

T. Brabec and F. Krause показали, что длительность спектрально ограниченного предельно короткого импульса по уровню FWHW огибающей интенсивности определяется периодом несущей частоты:

(1.28)

Фазово-модулированные импульсы. Временная фаза (time-dependent phase), мгновенная (instantaneous carrier) частота, чирпованный импульс.

Временная фаза волны определяется в общем случае выражением

(1.29)

Фаза на периоде T меняется на 2π:

При этом (1.30)

тогда (1.31)

мгновенная частота определяется как

(1.32)

Фазово-модулированный гауссов импульс

Импульс, фаза которого изменяется по квадратичному закону от t, принято называть чирпованным

(1.33)

Несущая частота в таком импульсе линейно меняется по t

(1.34)

Огибающая амплитуды поля гауссова импульса в этом случае можно записать в виде

(1.35)

В соответствии с Фурье, благодаря квадратичности чирпа, спектральная огибающая чирпованного импульса будет так же гауссова.

Ее ширина по уровню е^-1 будет определяться выражением (- ширина спектрально ограниченного импульса)

(1.36)

Тогда соотношение будет иметь вид:

(1.37)

для уровня FWHM соотношение примет вид

(1.38)

Принято считать, что импульс положительно чирпованный, если частота электрического поля нарастает от начала импульса к его хвосту.

Рис. 1.5. Положительно чирпованный гауссов импульс.

так как

Рис. 1.6. Отрицательно чирпованный гауссов импульс.