Лекція 12. Структури систем та їх оцінки.

При моделювання систем дослідників цікавлять властивості та характеристики системи, що змінюються у часі. Але в будь-якій системі є властивості і характеристики, які незмінні або інваріантні впродовж досить тривалого терміну функціонування системи. Вивчення цих характеристик називається аналізом структур і поруч з моделюванням є одним з основних інструментів системного аналізу.

Структуру системи частіше за всього описують як сукупність типізованих або загальних блоків та зв’язків між ними, що мають певні характеристики. Кожен блок зазвичай описує окремий функціональний об’єкт чи дію, але ступінь деталізації визначається необхідним ступенем аналізу системи. Такий опис називається структурною схемою і використовується при загальному описі систем чи алгоритмів дій без конкретизованого математичного наповнення.

Більш складним описом структури системи є граф – сукупність множин вершин і ребер. Найбільш наглядним способом представлення графів є діаграма, але на відміну від структурної схеми, граф можна описати аналітично (у вигляді матриць) та текстом (у вигляді списків переліків вершин досяжності). Ці представлення дозволяють вести математичну обробку графів, визначаючи найкоротші та найдовші шляхи, радіуси, діаметри, цикломатичні та хроматичні числа графа та інше. Більшість цих характеристик є важливими при аналізі систем.

Теорія графів базується на тому, що кожне ребро інцедентне двом вершинам. Якщо ж воно з’єднує більше двох вершин, говорять про гіперграф – сукупність множини вершин і множини ребер, які задані безпосереднім переліком вершин, інцедентних даному ребру. (намалювати). За допомогою гіперграфа легко виконати декомпозицію структури на малопов’язані фрагменти, аналізу структур та розрахунку їх топологічних характеристик.

Топологічний аналіз структури системи включає наступні етапи:

1. аналіз елементів;

2. аналіз зв’язків;

3. визначення ступенів зв’язаності, централізації та складності графа;

4. визначення центру, діаметру та радіусу графа.

В ході аналізу елементів необхідно визначити, насамперед, чи є в графі ізольовані, висячі та тупикові вершини. Для цього підраховують суми елементів рядків матриці суміжності та суми елементів стовпців тієї ж матриці . Якщо для якоїсь з вершини , ця вершина тупикова (стік), якщо - вершина висяча (джерело), а якщо - вершина ізольована. Висячі вершини повинні відповідати вхідним каналам системи, тупикові – вихідним елементам. Наявність ізольованої вершини свідчить про помилки в ході аналізу системи, оскільки система – цілісний об’єкт і в ньому не повинно бути відокремлених елементів.

При аналізі зв’язків у графі намагаються виявити наявність петель, контурів та сильнозв’язаних підграфів. Петля свідчить про наявність зв’язку між виходом та входом одного й того ж елемента, що може призвести до його некерованості. Контур – послідовність вершин і ребер, в якій початкова і кінцева вершини співпадають. Контури свідчать про наявність циклічних процесів та зв’язків у системи. Це може бути як корисним, так і шкідливим. Нарешті, сильнозв’язаним під графом називається обмежена множина вершин, в кожну з яких можна попасти з кожної іншої. Для визначення сильнозв’язаних підграфів використовується процедура конденсації, яка виключає з графа всі контури та петлі. Побудова конденсацій необхідна для великих структур (більше 20 вершин), коли візуальний аналіз зв’язків вкрай ускладнюється.

Центром графа називається вершина (чи вершини), максимальна відстань від якої до найдальшої з вершин в графі є мінімальною. В орієнтованому графі центр не має сенсу і може бути визначений тільки переведенням орієнтованого графа в неорієнтований. Радіусом графа називається відстань від центру до найдальшої з вершин, тобто той мінімум, за яким визначають центр. Нарешті, діаметр графа – це найбільша з можливих найкоротших відстаней між будь-якими вершинами в графі. В орієнтованому графі діаметр набуває сенсу найкоротшого шляху від висячої вершини до тупикової. Якщо їх декілька – це максимум на матриці мінімумів (показати).

, де - висячі вершини, - тупикові вершини.

Ступінь зв’язаності графа визначають по двох характеристиках – числу компонентів зв’язаності - числу ребер, які необхідно вилучити, аби граф став незв’язаним або тривіальним, а також за показником , що визначає відношення кількості існуючих зв’язків в системі до мінімального необхідного для зв’язаності графа

де - кількість зв’язків, - кількість вершин, - для будь-якого графа мінімальна кількість ребер, необхідна для зв’язаності графа.

Якщо , говорять про наявність надлишковості зв’язків; при структура мінімальна; при в структурі є ізольовані вершини або підграфи.

Ступінь централізації показує нерівномірність завантаження елементів структури. Для неорієнтованих графів вона визначається показником

, де , а для логічно, що .

Якщо - структура максимально централізована, якщо - максимально децентралізована (центру немає взагалі).

Для орієнтованих графів індекс централізованості визначається коефіцієнтом

,

де - ступінь вершини графа (сумарна кількість вхідних та вихідних дуг), а . Сенс коефіцієнта той же, що і у .

Ступінь складності – найменш формалізована характеристика структури системи. Адже сказати, що така-то структура складна, а вилучи з неї 1 ребро і вона стає простою досить важко. Оскільки передбачається, що будь-яка система має функцію для перетворювати якийсь набір вхідних впливів у вихідні, то оцінкою складності структури може бути кількість можливих шляхів від входу до виходу. За цим принципом розраховується коефіцієнт складності

,

де - кількість різних шляхів, що ведуть з висячої вершини до тупикової вершини .

Для мінімальної (найпростішої) системи показник . Для суттєво розгалужених (складних) систем він може сягати десятків. При значеннях говорять про ускладненість керування багатоканальною системою.

Для графів з кількістю вершин до 10-15 обрахувати ступінь складності неважко навіть візуально. Для більш складних структуру використовується алгоритм розрахунку ступені складності, що використовує матрицю інцедентності гіперграфів, що є представленнями вихідного орієнтованого графа.