Парабола

Параболой называется множество всех точек, расстояния от которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны (рис.2).

Уравнение параболы получается из уравнения кривой второго порядка (1). Если коэффициент В = О, а также один из коэффициентов А или С равен нулю, для определенности пусть А = О, С  0, то есть:

Су² + Dx + Ey + F = 0. (3)

Это уравнение параболы с осью симметрии, перпендикулярно оси ординат.

При А≠0, С=0 получим:

Ax²+Dx + Ey + F = 0. (4)

В данном случае это — уравнение параболы с осью симметрии, перпендикулярной оси абсцисс.

Уравнения (3) и (4) представляют собой общие уравнения параболы. Каноническими уравнениями параболы являются:

у² = 2рх, где р — параметр параболы, расстояние от фокуса до директрисы, для кривой с горизонтально расположенной осью;

х² = 2ру — для параболы с вертикально расположенной осью. Схематичное изображение параболы представлено на рис.2.

Рис. 2. Схематическое изображение параболы

Для построения параболы в MS Excel уравнение параболы должно быть приведено к виду y=f(x) (разрешено относительно переменной y). Построение диаграммы параболы осуществляется по тем же шагам, что и построение окружности.

Задание 1. Построить параболу x²=12y в диапазоне x  [-4; 4] с шагом h = 0.5

Задание 2. Построить параболу y²=8x в диапазоне x  [-4; 4] с шагом h = 0.5

Гипербола

Кривая второго порядка (1) называется гиперболой, если коэффициенты A и С имеют противоположные знаки, то есть АС < 0.

Характеристическое свойство гиперболы выражается в том, что она является множеством точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (F₁, F₂), называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами (рис.3).

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Здесь с — расстояние от начала координат до фокусов, а — расстояние от начала координат до вершин гиперболы.

— эксцентриситет,

— асимптоты гиперболы.

Рис. 3. Схематическое изображение гиперболы

В простейшем случае уравнение гиперболы имеет вид .

Задание 3. Построить гиперболу для x  [-10; 10]. Шаг рассчитать самостоятельно, количество точек разбиения отрезка n=20. (, x_i = a + i*h или x_i₊₁=x_i+h)

Задание 4. Построить гиперболу для x  [0,1; 5,05] при n=20.

Эллипс

Кривая второго порядка (1) называется эллипсом, если коэффициенты A и С имеют одинаковые знаки, то есть АС > 0. Если коэффициент В также равен нулю, то это эллипс с осями, параллельными координатным осям. Если, кроме того, коэффициенты D = Е = 0, то центр эллипса находится в начале координат.

Обычно в качестве определения эллипса используют его характеристическое свойство: эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса может быть получено из его определения.

Обозначим постоянную сумму расстояний от фокусов до точек эллипса 2а, а расстояние между фокусами — 2с.

Систему координат введем следующим образом: ось х проходит через фокусы, ось у — через середину отрезка F₁F₂ (рис. 4).