- •Предисловие
- •Глава 1 задачи логики
- •1. Правильное рассуждение
- •2. Логическая форма
- •3. Дедукция и индукция
- •4. Интуитивная логика
- •5. Некоторые схемы правильных рассуждений
- •6. Традиционная и современная логика
- •7. Современная логика и другие науки
- •Глава 2 слова и вещи
- •1. Язык как знаковая система
- •2. Основные функции языка
- •3. Логическая грамматика
- •Глава 3 имена
- •1. Виды имен
- •2. Отношения между именами
- •Равнозначность
- •Пересечение
- •Подчинение
- •Исключение
- •Противоречащие имена Противоположные имена
- •3. Определение
- •4. Деление
- •1. Деление должно вестись только по одному основанию.
- •2. Деление должно быть соразмерным, или исчерпывающим, т.Е. Сумма объемов членов деления должна равняться объему делимого понятия.
- •3. Члены деления должны взаимно исключать друг друга.
- •4. Деление должно быть непрерывным.
- •Глава 4 высказывания
- •1. Простые и сложные высказывания. Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция
- •2. Условное высказывание, импликация, эквивалентность
- •3. Описательные и оценочные высказывания
- •4. Модальные высказывания
- •Глава 5 ловушки языка
- •1. Тайная мудрость языка
- •2. Многозначность
- •3. Эгоцентрические слова
- •4. Неточные и неясные имена
- •5. Гипостазирование
- •6. Роли имен
- •Глава 6 о смысле бессмысленного
- •1. Осмысленное и бессмысленное
- •2. Абсурд
- •3. Синтаксические нарушения
- •4. Семантические нарушения
- •5. Крайние случаи бессмысленного
- •6. Туманное и темное
- •Глава 7 логика высказываний
- •1. Логический закон
- •2. Закон противоречия
- •3. Закон исключенного третьего
- •4. Логические законы тождества, двойного отрицания и другие закон тожества
- •Закон двойного отрицания
- •Законы контрапозиции
- •Модус поненс
- •Модус толленс
- •Модус понендо толленс
- •Модус толлендо поненс
- •Законы де моргана
- •Закон приведения к абсурду
- •Закон косвенного доказательства
- •Закон клавия
- •Закон транзитивности
- •Законы ассоциативности и коммутативности
- •Закон дунса скотта
- •5. Логическое следование
- •6. Язык логики предикатов
- •Глава 8 модальная логика
- •1. Логические модальности
- •2. Физические модальности
- •3. Логическое исследование ценностей
- •Глава 9 логика категорических высказываний
- •1. Категорические высказывания
- •2. Логический квадрат
- •3. Категорический силлогизм
- •Глава 10 доказательство и опровержение
- •1. Понятие доказательства и его структура
- •2. Прямое и косвенное доказательство
- •3. Виды косвенных доказательств
- •4. Опровержение
- •5. Ошибки в доказательстве
- •6. Софизмы
- •Глава 11 индуктивные рассуждения
- •1. Индукция как вероятное рассуждение
- •2. Неполная индукция
- •3. Подтверждение следствий
- •4. Полная индукция и математическая индукция
- •5. Методы установления причинных связей
- •Единственное сходство
- •Единственное различие
- •Сходство и различие
- •Сопутствующие изменения
- •Остающаяся часть причины
- •6. Надежность индукции
- •7. Аналогия
- •Аналогия свойств и аналогия отношений
- •Вероятный характер аналогии
- •Понимание по аналогии
- •Типичные ошибки
- •Глава 12 проблема понимания
- •1. Структура понимания
- •2. Сильное понимание
- •3. Понимание поведения
- •4. Понимание природы
- •5. Понимание языковых выражений
- •6. Объяснение
- •Глава 13 аргументация и логика
- •1. Теория аргументации
- •2. Обоснование
- •3. Эмпирическая аргументация
- •4. Факты как примеры и иллюстрации
- •5. Теоретическая аргументация
- •6. Контекстуальная аргументация
- •7. Обоснование и истина
- •8. Аргументация в поддержку оценок
- •Глава 14 спор и его виды
- •1. Корректные и некорректные споры
- •2. Споры об истине и споры о ценностях
- •3. Четыре разновидности споров
- •4. Общие требования к спору
- •5. Победа в споре
- •Вместо заключения
6. Язык логики предикатов
Логика высказываний не анализирует внутреннюю структуру простых высказываний. Они берутся как неразложимые далее атомы, из которых с помощью связок образуются сложные высказывания.
Логика предикатов – основной раздел современной логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний.
Логика предикатов является расширением логики высказываний: все законы логики высказываний являются также законами логики предикатов, но не наоборот. В этом смысле логика высказываний более фундаментальна, чем логика предикатов.
Предикат – это языковое выражение, обозначающее какое-то свойство или отношение. Предикат, указывающий на свойство отдельного предмета, например, "быть зеленым", называется одноместным. Предикат, обозначающий отношение, называется двухместным, трехместным и т.д. в зависимости от числа членов данного отношения. Например, "любит" – двухместный предикат, "находится между" – трехместный.
В современной логике предикация рассматривается как частный случай функциональной зависимости. Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания. Например, выражение "...есть зеленый" (или "х есть зеленый") является функцией от одной переменной, "... любит... " ("х любит у") – функция от двух переменных и т.д. Эти выражения превращаются в высказывания при соответствующей подстановке имен вместо переменных.
В логике предикатов – в дополнение к средствам логики высказываний – вводятся логические операторы ("для всех") и ("для некоторых", или "существует"), называемые кванторами общности и существования соответственно. Для выявления субъектно-предикатной структуры высказываний вводится бесконечный перечень индивидных переменных: х, у, z, ..., х1, у1, z1,..., представляющих различные объекты, и бесконечный перечень предикатных переменных: Р, Q, R, ..., Р1, Ql, R1, ..., представляющих свойства и отношения объектов. Индивидные переменные принимают значения в произвольной (непустой) области; наряду с этими переменными могут вводиться индивидные константы, или имена собственные.
Запись (x) Р(х) означает "Всякий х обладает свойством Р", (х) Р(х) – "Некоторые х обладают свойством Р", (x) Q(x, у) – "Существует х, находящийся в отношении Q с у" и т.п.
Формула логики предикатов называется общезначимой, если она истинна в каждой интерпретации, в каждом приписывании содержательного смысла входящим в нее символам. Тавтология логики высказываний является частным случаем общезначимой формулы. В логике предикатов, в отличие от логики высказываний, нет эффективной процедуры, позволяющей для произвольно взятой формулы решить, является ли она общезначимой или нет.
Глава 8 модальная логика
1. Логические модальности
Модальность – это оценка высказывания, данная с той или иной точки зрения. Модальная оценка выражается с помощью понятий "необходимо", "возможно", "доказуемо", "опровержимо", "обязательно", "разрешено" и т.п. Модальные высказывания – это высказывания, содержащие хотя бы одно из таких понятий. Модальные высказывания делятся на типы в зависимости от той точки зрения, на основе которой формулируются выражаемые ими характеристики. Ранее, при обсуждении модальных высказываний, проводилось различие между логическими, физическими, эпистемическими, нормативными и оценочными модальными высказываниями.
Модальная логика – раздел логики, в котором исследуются логические связи модальных высказываний.
Модальная логика слагается из ряда разделов, или направлений, каждое из которых занимается модальными высказываниями определенного типа. Фундаментом модальной логики является логика высказываний: первая есть расширение второй.
Теория логических модальностей изучает связи логических модальных высказываний, т.е. высказываний, включающих логические модальные понятия: "логически необходимо", "логически возможно", "логически случайно" и т.п.
Логически необходимое высказывание можно определить как высказывание, отрицание которого представляет собой логическое противоречие. Внутренне противоречивы, например, высказывания "Неверно, что, если неон – инертный газ, то неон – инертный газ" и "Неверно, что трава зеленая или она не зеленая". Это означает, что утвердительные высказывания "Если неон – инертный газ, то неон – инертный газ" и "Трава зеленая или она не зеленая" являются логически необходимыми. Понятие логической необходимости связано с понятием логического закона: логически необходимы законы логики и все, что вытекает из них. Логически необходимы, таким образом, все рассматривавшиеся ранее законы логики высказываний.
Истинность логически необходимого высказывания устанавливается независимо от опыта, на чисто логических основаниях. Логическая необходимость является, таким образом, более сильным видом истины, чем фактическая истинность. Например, высказывание "Снег бел" фактически истинно, для подтверждения его истинности требуется эмпирическое наблюдение. Высказывания же "Снег есть снег", "Белое – это белое" и т.п. необходимо истинны: для установления их истинности не нужно обращаться к опыту, достаточно знать значения входящих в них слов. Поскольку данные высказывания логически необходимы, каждое из них можно предварить оборотом "логически необходимо, что..." ("Логически необходимо, что снег есть снег" и т.п.).
Логическая возможность – это внутренняя непротиворечивость высказывания.
Высказывание "Коэффициент полезного действия паровой машины равен 100% является, очевидно, ложным, но оно внутренне непротиворечиво и, значит, логически возможно. Но высказывание "К.п.д. такой машины выше 100%" противоречиво и потому логически невозможно.
Логическая возможность может быть определена и через понятие логического закона: логически возможно высказывание, не противоречащее законам логики.
Скажем, высказывание "Микробы – живые организмы" совместимо с законами логики и, следовательно, логически возможно. Высказывание же "Неверно, что если человек – писатель, то он писатель" противоречит логическому закону тождества и потому является логически невозможным.
Случайно то, что может быть, но может и не быть. Случайность не равнозначна возможности, которая не может не быть. Случайность иногда называют "двусторонней возможностью", т.е. равной возможностью и высказывания, и его отрицания.
Высказывание логически случайно, когда и оно само, и его отрицание являются логически возможными.
Логически возможно высказывание, не являющееся внутренне противоречивым. Если не только само высказывание, но и его отрицание не содержат противоречия, высказывание является логически случайным. Случайно, например, высказывание "Все многоклеточные существа смертны": ни утверждение этого факта, ни его отрицание не содержат внутреннего (логического) противоречия.
Логически невозможное высказывание – это внутренне противоречивое высказывание.
Логически невозможны, например, высказывания: "Растения дышат и растения не дышат" и "Неверно, что, если Вселенная бесконечна, то она бесконечна". Оба они являются отрицаниями логических законов: первое – закона противоречия, второе – закона тождества.
Понятия логической необходимости и возможности можно определить одно через другое:
"А логически необходимо" означает "отрицание А не является логически возможным" (например: "Необходимо, что холод есть холод" означает "Невозможно, чтобы холод не был холодом");
"А логически возможно" означает "отрицание А не является логически необходимым" ("Возможно, что кадмий – металл" означает "Неверно, что необходимо, что кадмий – не металл").
Логическую случайность можно определить через логическую возможность: "логически случайно А" означает "логически возможно как А, так и не-A"("Логически случайно, что на Земле есть жизнь" означает "Логически возможно, что на Земле есть жизнь, и логически возможно, что на Земле нет жизни").
Логически необходимое высказывание является истинным, но не наоборот: не каждая истина логически необходима. Логически необходимое высказывание является также логически возможным, но не наоборот: не все логически возможное логически необходимо.
Из истинности высказывания вытекает его логическая возможность, но не наоборот: логическая возможность слабее истинности.