4.3. Теорема Пуассона

В теореме Бернулли устанавливается связь между относительной частотой появления события и его вероятностью p при условии, что последняя от опыта к опыту не изменяется. Теорема Пуассона⁷ устанавливает связь между относительной частотой появления события и некоторой постоянной величиной при переменных условиях опыта.

Теорема Пуассона. Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в i-м опыте равна p_i, то при увеличении n относительная частота появления события сходится по вероятности к среднему арифметическому значению вероятностей p_i, т. е.

= 1, (4.3.1)

где ε – сколь угодно малое положительное число.

Для конечного числа испытаний n будем иметь:

(4.3.2)

Каким бы ни было ε, при n → ∞ величина дроби , а вероятность

Пример 4.3.1. Одинаковые партии изделий размещены в 11 ящиках, причем доли первосортных изделий в них составляют 0,0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0.8; 0,9; 1,0. Из каждого ящика наудачу извлечено по одному изделию. Определить вероятность того, что доля первосортных изделий в выборке будет отличаться от средней арифметической доли менее чем на 0,2.

Решение. По условию задачи:

n = 11; ε = 0,2;

p₁ = 0,0 (q₁ = 1,0); p₂ = 0,1 (q₂ = 0,9); p₃ = 0,2 (q₃ = 0,8);

p₄ = 0,3 (q₄ = 0,7); p₅ = 0,4 (q₅ = 0,6); р₆ = 0,5 (q₆ = 0,5);

p₇ = 0,6 (q₇ = 0,4); p₈ = 0,7 (q₈ =0,3); p₉ = 0,8 (q₉ = 0,2);

p₁₀ = 0,9 (q₁₀ = 0,1); p₁₁ = 1,0 (q₁₁ = 0,0).

Применяя формулу (4.3.2), получим

=

= 1 – =

= 1 – = 0,64.

Ответ: ≥ 0,64.

5. Центральная предельная теорема

При изучении нормального закона распределения отмечают, что непрерывная случайная величина формируется под воздействием очень большого числа независимых случайных факторов. Причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может превалировать среди остальных, а характер воздействия  аддитивный (т. е. при воздействии случайного фактора F на величину а получается величина а + (F), где случайная “добавка” (F) мала и равновероятна по знаку).

Центральная предельная теорема устанавливает условия образования в пределе нормального закона распределения. Она была открыта Лапласом⁸ (опубликована в 1812 г.). Состоит она в следующем.

Рассмотрим сумму S  независимых случайных величин. Предположим, что все эти случайные величины имеют одинаковое распределение и принимают целочисленные значения 0; 1; 2; ... Распределение  P() каждой из величин можно изобразить следующим образом. Нарисуем на каждом значении m прямоугольник, середина основания которого есть точка m, длина основания равна 1,0, а площадь есть . Получится ряд прямоугольников (с высотами ), сумма площадей которых равна 1 (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Попытаемся изобразить таким же образом вероятности отдельных значений суммы  при довольно большом числе n. При этом обнаружим, что даже если случайные величины , i  1, ... , n принимали всего лишь два значения 0 и 1, то значениями суммы могут быть числа от 0 до n. Следовательно, эти значения при большом числе n просто не поместятся в прежнем масштабе на рис. 5.1. Мы вынуждены будем изменить масштаб, т. е. вместо значений случайной величины



будем откладывать значения величины

 (),

где и – некоторые числа, зависящие от n.

Лаплас открыл, что получится нечто замечательное, если положить

 M()  nа, где а  M();

 , где  D().

Случайную величину

мы будем называть нормированной суммой.

Очевидно, что M()  0, D()  1 и значениями величины являются числа

,

причем для любого целого m

P( m) P()  P().

Отложим по оси абсцисс значения и изобразим вероятности

P()

этих значений прямоугольниками, середины оснований которых лежат в точках , длины оснований равны расстоянию

 

между соседними точками, а площади равны P(). Высоты этих прямоугольников равны

∙ P().

При этом произойдет следующее: верхние основания этих прямоугольников почти точно лягут на некоторую кривую, задаваемую уравнением

f(x)  ,

которое является плотностью нормального распределения.

При имеем

P()  .

В таком случае нам известно, что

P(a b)   (b) –  (a).

Рассмотрим общую часть центральной предельной теоремы в любой ее форме. Пусть , … – последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями M() и дисперсиями D()  , , … . Введем новые случайные величины:

 ,

для которых

M()  ; D() = ; σ()  .

Тогда при определенных условиях справедливо равенство

P(< z)   0,5 + (),

утверждающее, что закон распределения нормированных отклонений суммы при стремится к стандартному нормальному распределению вне зависимости от типа распределения слагаемых. В таком случае говорят, что подчиняется асимптотически нормальному распределению.

Различные формы центральной предельной теоремы отличаются друг от друга ограничениями, налагаемыми на последовательность , при которых выполняется утверждение теоремы. Так, в теореме Муавра⁹–Лапласа в качестве рассматриваются частоты при i-том испытании в модели Бернулли. Более общим является условие одинакового распределения всех при существовании конечного математического ожидания M() = a и дисперсии D() .

А. М. Ляпунов¹⁰, создав специальный метод характеристических функций, используемый в доказательстве различных предельных теорем, показал, что требование одинакового распределения можно заменить условием их равномерной малости (удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых). Это условие Ляпунова математически выражается так:

 0, где а_i  M – M()³.