2.7. Теорема об экстремальном значении целевой функции на выпуклом множестве

Графический способ решения задачи линейного программирования позволяет установить, что оптимальное решение достигается всегда в угловых точках пространства решений. На этой идее и основан алгебраический симплекс-метод решения любой задачи линейного программирования.

Теорема. Если задача линейного программирования имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения в одной из угловых точек многогранника допустимых планов. Если же целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной угловой точке, то она принимает это же значение в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих условных точек.

Это основная теорема линейного программирования. Для двух переменных она уже обоснована, а для случая n переменных ее надо доказать. Сначала уточним использованные термины.

Угловая точка. Точка выпуклого множества называется угловой, если ее нельзя представить в виде выпуклой линейной комбинации двух различных точек этого множества.

23