6. Условный экстремум

В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть – функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию , называемому уравнением связи.

Определение 8. Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , ().

Если уравнение связи можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x: ), то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное значение в функцию двух переменных. В результате получают функцию одной переменной x: . Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .

Замечание. В более сложных случаях, когда уравнение связи не разрешимо относительно одной из переменных, для отыскания условного экстремума используется метод множителей Лагранжа.

Пример 7. Найти экстремумы функции при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи .

Решение. Из уравнения связи находим функцию и подставляем ее в функцию z. Получим функцию одной переменной или . Находим экстремум данной функции: , , – критическая точка первого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как , то в точке функция имеет локальный минимум. Из уравнения связи находим: . Следовательно, функция в точке имеет условный минимум: .

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Функции нескольких переменных

1. Найти частные производные функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

2. Найти полные дифференциалы функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

3. а) Дана функция . Показать, что .

б) Дана функция . Показать, что .

в) Дана функция . Показать, что .

4. Найти частные производные второго порядка для функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

5. Найти экстремумы функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) .

6. Найти экстремумы функции при условии, что ее аргументы x и y удовлетворяют уравнению связи :

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Литература

1. Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.

2. Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

3. Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.