- •Высшая математика
- •Непрерывность функции
- •Функции нескольких переменных
- •Учебно-методическое пособие
- •Лекция 1. Непрерывность функции
- •Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Непрерывность функции
- •Лекция 2. Функции нескольких переменных
- •Понятие функции двух и более переменных
- •Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
- •Частные производные высших порядков
- •Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
- •Условный экстремум
- •Функции нескольких переменных
- •Литература
- •Ответы к задачам и упражнениям Непрерывность функции
- •Функции нескольких переменных
- •Содержание
- •1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке 3
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
-
Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если – точка разрыва функции , то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:
-
Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке . Так функция , рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке , так как не определена в этой точке.
-
Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и , но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но , так как , а .
-
Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и , они равны между собой, но не равны значению функции в точке : . Например, функция . Здесь – точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и , равные между собой, но , т. е. .
Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.
Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке .
Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , они равны между собой: , но сама функция не определена в точке , или определена, но .
Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов ( или ) не существует или равен бесконечности.
Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б)
Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах , и , так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и . Найдем односторонние пределы функции в точке :
, .
Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: .
Для точки находим:
,
, .
Таким образом, имеем: . Следовательно, в точке наша функция является непрерывной.
График данной функции изображен на рис.4.
Рис. 4
Решение. б) В точке функция меняет свое аналитическое задание, следовательно, в этой точке возможен разрыв. Найдем односторонние пределы:
,
, .
Так как , то точка является точкой разры-ва первого рода. Скачок функции: .
В точке функция не определена, значит точка является точкой разрыва. Определим ее тип:
, .
Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Непрерывность функции
1. Исследовать следующие функции на непрерывность в указанных точках:
а) б)
в) г)
д) е)
ж) ; з) .
2. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип:
а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)