Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
УМП_Непрерывные функции_Метельский.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
10.11.2018
Размер:
1.23 Mб
Скачать
  1. Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если – точка разрыва функции , то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:

  1. Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке . Так функция , рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке , так как не определена в этой точке.

  2. Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и , но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но , так как , а .

  3. Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и , они равны между собой, но не равны значению функции в точке : . Например, функция . Здесь – точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и , равные между собой, но , т. е. .

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке .

Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , они равны между собой: , но сама функция не определена в точке , или определена, но .

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов ( или ) не существует или равен бесконечности.

Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б)

Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах , и , так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и . Найдем односторонние пределы функции в точке :

, .

Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: .

Для точки находим:

,

, .

Таким образом, имеем: . Следовательно, в точке наша функция является непрерывной.

График данной функции изображен на рис.4.

Рис. 4

Решение. б) В точке функция меняет свое аналитическое задание, следовательно, в этой точке возможен разрыв. Найдем односторонние пределы:

,

, .

Так как , то точка является точкой разры-ва первого рода. Скачок функции: .

В точке функция не определена, значит точка является точкой разрыва. Определим ее тип:

, .

Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Непрерывность функции

1. Исследовать следующие функции на непрерывность в указанных точках:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) ; з) .

2. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.