-
Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых
условие непрерывности не выполняется,
называются точками разрыва этой функции.
Если
– точка разрыва функции
,
то в ней не выполняется хотя бы одно из
трех условий непрерывности функции,
указанных в определениях 1, 2, а именно:
-
Функция определена в окрестности точки
,
но не определена в самой точке
.
Так функция
,
рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв
в точке
,
так как не определена в этой точке. -
Функция определена в точке
и ее окрестности, существуют односторонние
пределы
и
,
но они не равны между собой:
.
Например, функция
из примера 2 б) определена в точке
и ее окрестности, но
,
так как
,
а
. -
Функция определена в точке
и ее окрестности, существуют односторонние
пределы
и
,
они равны между собой, но не равны
значению функции в точке
:
.
Например, функция
.
Здесь
– точка разрыва: в этой точке функция
определена, существуют односторонние
пределы
и
,
равные между собой, но
,
т. е.
.
Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.
Определение 5.
Точка
называется точкой
разрыва
первого рода
функции
,
если в этой точке существуют конечные
пределы
и
,
но они не равны между собой:
.
Величина
называется при этом скачком функции
в точке
.
Определение 6 .
Точка
называется точкой
устранимого
разрыва
функции
,
если в этой точке существуют конечные
пределы
и
,
они равны между собой:
,
но сама функция
не определена в точке
,
или определена, но
.
Определение 7.
Точка
называется точкой
разрыва
второго рода
функции
,
если в этой точке хотя бы один из
односторонних пределов (
или
)
не существует или равен бесконечности.
Пример 3.
Найти точки разрыва следующих функций
и определить их тип: а)
б)
Решение. а)
Функция
определена
и непрерывна на интервалах
,
и
,
так как на каждом из этих интервалов
она задана непрерывными элементарными
функциями. Следовательно, точками
разрыва данной функции могут быть только
те точки, в которых функция меняет свое
аналитическое задание, т.е. точки
и
.
Найдем односторонние пределы функции
в точке
:
,
.
Так как односторонние
пределы существуют и конечны, но не
равны между собой, то точка
является точкой разрыва первого рода.
Скачок функции:
.
Для точки
находим:
,
,
.
Таким образом,
имеем:
.
Следовательно, в точке
наша функция является непрерывной.
График данной функции изображен на рис.4.
Рис. 4
Решение. б)
В точке
функция меняет свое аналитическое
задание, следовательно, в этой точке
возможен разрыв. Найдем односторонние
пределы:
,
,
.
Так как
,
то точка
является точкой разры-ва первого рода.
Скачок функции:
.
В точке
функция не определена, значит точка
является точкой разрыва. Определим ее
тип:
,
.
Следовательно, в
точке
функция имеет разрыв второго рода.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Непрерывность функции
1. Исследовать следующие функции на непрерывность в указанных точках:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
;
з)
.
2. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
